Processes on the unitary group and free probability

Résumé : Cette thèse est consacrée à l'étude asymptotique d'objets liés au mouvement brownien sur le groupe unitaire en grande dimension, ainsi qu'à l'étude, dans le cadre des probabilités libres, des versions non-commutatives de ces objets. Elle se subdivise essentiellement en trois parties.Dans le chapitre 2, nous résolvons le problème initial de cette thèse, à savoir la convergence de la transformation de Hall sur le groupe unitaire vers la transformation de Hall libre, lorsque la dimension tend vers l'infini. Pour résoudre ce problème, nous établissons des théorèmes d'existence de noyaux de transition pour la convolution libre. Enfin, nous utilisons ces résultats pour prouver que, pareillement au mouvement brownien sur le groupe unitaire, le mouvement brownien sur le groupe linéaire converge en distribution non-commutative vers sa version libre. Nous étudions les fluctuations autour de cette convergence dans le chapitre 3. Le chapitre 4 présente un morphisme entre les mesures infiniment divisibles pour la convolution libre additive d'une part et multiplicative de l'autre. Nous montrons que ce morphisme possède une version matricielle qui s'appuie sur un nouveau modèle de matrices aléatoires pour les processus de Lévy libres multiplicatifs.
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Thèse
General Mathematics [math.GM]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2014. English. 〈NNT : 2014PA066380〉
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Soumis le : samedi 7 mars 2015 - 02:27:00
Dernière modification le : vendredi 30 juin 2017 - 12:48:36
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Guillaume Cébron. Processes on the unitary group and free probability. General Mathematics [math.GM]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2014. English. 〈NNT : 2014PA066380〉. 〈tel-01088217v2〉

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