Some asymptotic properties for nonparametric estimation of functional of stationary continuous time processes

Quelques propriétés asymptotiques en estimation non paramétrique de fonctionnelles de processus stationnaires en temps continu

Sultana Didi (1)

1 LSTA - Laboratoire de Statistique Théorique et Appliquée

The work of this thesis focuses upon some nonparametric estimation problems. More precisely, considering kernel estimators of the density, the regression and the conditional mode functions associated to a stationary continuous-time process, we aim at establishing some asymptotic properties while taking a sufficiently general dependency framework for the data as to be easily used in practice. The present manuscript includes four parts. The first one gives the state of the art related to the field of our concern and identifies well our contribution as compared to the existing results in the literature. In the second part, we focus on the kernel density estimation. In a rather general dependency setting, where we use a martingale difference device and a technique based on a sequence of projections on -fields, we establish the almost sure pointwise and uniform consistencies with rates of our estimate. In the third part, similar asymptotic properties are established for the kernel estimator of the regression function. Here and below, the processes are assumed to be ergodic In the same spirit, we study in the fourth part, the kernel estimate of conditional mode function for which we establish consistency properties with rates of convergence. The proposed estimator may be viewed as an alternative in the prediction issues to the usual regression function.

Les travaux de cette thèse portent sur les problèmes d’estimation non paramétrique des fonctions de densité, de régression et du mode conditionnel associés à des processus stationnaires à temps continu. La motivation essentielle est d’établir des propriétés asymptotiques tout en considérant un cadre de dépendance des données assez général qui puisse être facilement utilisé en pratique. Cette contribution se compose de quatre parties. La première partie est consacrée à l’état de l’art relatif à la problématique qui situe bien notre contribution dans la littérature. Dans le deuxième partie, nous nous intéressons à l’estimation, par la méthode du noyau, de la densité pour laquelle nous établissons des résultats de convergence presque sûre, ponctuelle et uniforme, avec des vitesses de convergence. Dans les parties suivantes, les données sont supposées stationnaires et ergodiques. Dans la troisième partie, des propriétés asymptotiques similaires sont établies pour l’estimation à noyau de la fonction de régression. Dans le même esprit, nous étudions dans la quatrième partie, l’estimation à noyau de la fonction mode conditionnel pour lequel nous établissons des propriétés de consistance avec des vitesses de convergence. L’estimateur proposé ici se positionne comme une alternative à celui de la fonction de régression dans les problèmes de prévision.

Mots clés: Consistency; Continuous time

Mots clés: Convergence presque sûre et uniforme; Stationarité; Ergodicité; Consistance; Estimateur à noyau; Estimation non-paramétrique

Domaines: Statistiques [math.ST]

Sultana Didi. Quelques propriétés asymptotiques en estimation non paramétrique de fonctionnelles de processus stationnaires en temps continu. Statistiques [math.ST]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2014. Français. ⟨NNT : 2014PA066191⟩. ⟨tel-01081619⟩