MATHEMATICAL AND NUMERICAL ANALYSIS OF A MULTIVELOCITY MULTIFLUID MODEL FOR INTERPENETRATION OF MISCIBLE FLUIDS
ANALYSE MATHEMATIQUE ET NUMERIQUE D'UN MODELE MULTIFLUIDE MULTIVITESSE POUR L'INTERPENETRATION DE FLUIDES MISCIBLES
Résumé
This work is devoted to the study of a multivelocity multifluid model recently proposed by Scannapieco and Cheng (SC) to describe the interpenetration of miscible fluids (see [SC02]). In this document, we begin with presenting the SC model in the context of miscible fluid flow modelling. After that, the mathematical analysis of the model is carried out (study of hyperbolicity, existence of a strictly convex mathematical entropy, asymptotic analysis and diffusion limit). Then, we focus on the problem of numerical resolution of systems of conservation laws with a relaxation source term, because SC model is part of this class. The main difficulty of this task is to capture on a coarse grid the asymptotic behaviour of the system when the source term is stiff. The main contribution of this work lies in the proposition of a new technique, allowing to construct a Lagrangian numerical flux taking in account the presence of the source term. This technique is applied first on the model-problem of a 1D Euler system with friction, and then on the multifluid SC model. In both cases, we prove that the new scheme is asymptotic-preserving and entropic under a CFL-like condition. The 2D extension of the scheme is done using a standard alternate directions method. Some numerical results highlight the contribution of the new flux, compared with a standard Lagrange plus remap scheme where the source term is processed using an operator splitting.
Ce travail est consacré à l'étude d'un modèle multifluide multivitesse récemment proposé par Scannapieco et Cheng (SC) pour décrire l'interpénétration de fluides miscibles (voir [SC02]). Dans ce document, on commence par resituer ce modèle dans le contexte de la modélisation des écoulements de mélanges de fluides miscibles, puis on procède à son analyse mathématique (étude de l'hyperbolicité, existence d'une entropie mathématique strictement convexe, analyse asymptotique et limite de diffusion). Ensuite, on se concentre sur la problématique de la résolution numérique des systèmes de lois de conservation avec un terme source de relaxation, classe dont fait partie le modèle SC. Une difficulté lors de la résolution numérique de tels systèmes est de capturer sur maillage grossier leur régime asymptotique quand le terme source est raide. Le principal apport de ce travail réside dans le fait que l'on propose un nouveau mode de construction de schéma Lagrange-projection qui prend en compte la présence d'un terme source au niveau du flux numérique. Cette technique est d'abord appliquée en 1D au problème modèle des équations d'Euler avec friction, puis au modèle multifluide SC. Dans les deux cas, on prouve que le nouveau schéma est asymptotic-preserving et entropique sous une condition de type CFL. L'extension 2D du schéma est effectuée par directions alternées. Des résultats numériques mettent en évidence l'apport du nouveau flux en comparaison avec un schéma Lagrange-projection classique où le terme source est traité par un splitting d'opérateur.
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