MATHEMATICAL AND NUMERICAL STUDY OF CHEMOTAXIS-FLUID MODELS AND APPLICATIONS IN BIOLOGY

ÉTUDE MATHÉMATIQUE ET NUMÉRIQUE DE MODÈLES EN CHIMIOTAXIE-FLUIDE ET APPLICATIONS À LA BIOLOGIE

Georges Chamoun (1)

1 LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray

The results of this thesis are devoted to the theoretical and numerical study of chemotaxis-fluid models motivated by a wide range of biological phenomena such as the chemotaxis of cell populations in a fluid. The first two chapters of this thesis deals with chemotaxis in a fluid at rest. In the beginning, we generalize a finite volume scheme to the isotropic Keller-Segel model with general scalar diffusive coefficients on admissible meshes. Then, we propose and we study a monotone combined finite volume-nonconforming finite element method allowing an efficient and robust discretization of Keller-Segel models with heterogeneous anisotropic diffusive tensors and without restrictions on the mesh of the space domain. The last two chapters are devoted to the theoretical study (global existence, uniqueness) and the numerical study (extension of the combined method) of a complete chemotaxis-fluid model consisting of anisotropic chemotaxis equations coupled to Navier-Stokes equations through transport of living cells and chemo-attractant by the fluid and through the gravitational force exerted by these living organisms on the fluid. The work of this thesis leads us to write a highly developed calculation code in Fortran $95$ to validate our results by numerical simulations.

Les résultats présentés dans ce mémoire sont dédiés à l'étude théorique et numérique de modèles en chimiotaxie-fluide motivés par un large éventail de phénomènes biologiques comme la chimiotaxie de populations cellulaires dans un fluide. Les deux premiers chapitres de cette thèse portent sur la chimiotaxie dans un fluide au repos. Au début, on généralise un schéma de volumes finis au cas de modèles isotropes de Keller-Segel avec des coefficients diffusifs scalaires généraux sur des maillages admissibles. Ensuite, on propose et on étudie un schéma monotone combinant les méthodes de volumes finis et d'éléments finis non conformes et permettant une discrétisation efficace et robuste de modèles de Keller-Segel avec des tenseurs diffusifs anisotropes hétérogènes sans imposer des conditions restrictives sur le maillage du domaine en espace. Les deux derniers chapitres sont dédiés à l'étude théorique (existence globale, unicité) et l'étude numérique (extension de la méthode combinée) du système chimiotactisme-fluide complet constitué d'équations chimiotaxiques anisotropes couplées aux équations de Navier-Stokes modélisant un fluide incompressible. Ce couplage s'effectue à travers les termes décrivant d'un part le transport des cellules vivantes et du chimio-attractant par le fluide et d'autre part la force gravitationnelle exercée par ces organismes vivants sur le fluide. Les travaux de cette thèse ont donné lieu à l'écriture d'un code de calcul très développé en Fortran 95 afin de valider nos résultats par des simulations numériques.

Mots clés: Chemotaxis; degenerate parabolic equations; chemotaxis-fluid systems; finite volume method; finite element method; global existence of weak solutions; uniqueness; numerical simulations.

Mots clés: Chimiotaxie; équations paraboliques dégénérées; systèmes chimiotaxie-fluide; méthodes volumes finis; méthodes éléments finis; existence globale de solutions faibles; unicité; convergence; simulations numériques.

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]

Georges Chamoun. ÉTUDE MATHÉMATIQUE ET NUMÉRIQUE DE MODÈLES EN CHIMIOTAXIE-FLUIDE ET APPLICATIONS À LA BIOLOGIE. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Ecole Centrale de Nantes (ECN), 2014. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01015918⟩