. De-façon-analogue, on montre que (P ? s ) ?1 est solution de l'équation y ? N * ((I ? A s )y) = I dans V

A. Aux, T. Limites-locaux-lorsque-x, ?. {0, ·. ·. S}, +. et al., 1 de longueur n 0 de probabilité strictement positive qui mène de (k, 0) à (i, S ? x + y) sans rentrer dans On considère à présent un chemin ? 2 de longueur n allant de (i, S ? x + y) à (j, S ? x), qui rentre dans dans ] ? ?, S ? x + y] pour la première fois en atteignant S ? x ; ce chemin a la même probabilité qu'un chemin de longueur n, menant de 0 à ?y et qui entre pour la première fois dans ] ? ?, 0[ en ?y. Soit l ? 0 tel que P (l ? , l) > 0. D'après la construction précédente, il existe un chemin ? 3 de longueur n 0 et de probabilité strictement positive qui mène de (j, S ?x) à (l ? , S ?x) On note alors c 1 le minimum des probabilités des chemins (? 1 ? 3 ) lorsque x, y varient dans l'intervalle {0, S}. Finalement, puisque P (l ? , l)µ(?S) > 0, il existe un chemin ? 4 de longueur 1 qui mène de (l ? , S ? x) à (l, ?x), le résultat annoncé est ainsi démontré avec c = P (l ? , l)µ(?S)c 1 et k =, p.0

. De-même, 2, on a P k (? ? + = l, ? + = n + r) c P i (? ? + = j, ? + = n)

. Démonstration, Fixons k, l ? E, on a E k (? * ? 1 {? ? * ? =l} ) = n1 nP k

A. Aux and T. Limites-locaux-l-'identité, 5.15) entraîne que la série n1 nP k (? ? * ? = l, ? * ? = n) diverge aussi

. De-même, On suppose que le couple (P, µ) est apériodique et satisfait les hypothèses M (exp)[?, ?], C et Bsup. De plus, on se place dans le cas où toutes les lois µ kl sont à support inclus dans

A. Aux and T. Limites-locaux-en-adoptant-le-même-raisonnement-pour-la-marche-duale, on obtient un résultat similaire pour l'estimation des quantités P k (? n = l, ? * ? > n) lorsque n tend vers +? Afin d'obtenir des estimations plus précises dans les énoncés 3, on voudrait à présent répondre à la question de la nullité des constantes N * C(y)(k, l) (resp. PB(y)(k, l)), pour y ? Z et k, pp.66-87, 1999.

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