Contribution à l'étude des opérateurs de Schrödinger discrets - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 1997

Contribution to the study of discrete Schrödinger operators

Contribution à l'étude des opérateurs de Schrödinger discrets

Résumé

The domain of this thesis is included in the general theory of discrete one dimensional random operators. In Chapter 1, we provide interesting elements of the dynamical system which give rise to operators having the same spectrum. Moreover, we give an exposition of the spectral properties of a Schrödinger operator and we describe special cases of potentials. In particular case of periodic potential, the integrated density of states is explicitly provided. In Chapter 2, we introduce a new type of potential, associated with the 2-odometer and called odometric potential. This potential is limit periodic and of Gordon type. An approximation of the Lebesgue measure of the spectrum is obtained. In Chapter 3, we study spectral properties of new operators, called sparse operators, defined by Hp = Sp + S-p + V (where S is the shift operator on l2(Z), p is a non-negative integer dans V is a potential). In some particular cases, we prove that the nature of the spectrum does not change with p. Applications include some classes of periodic, random and substitutional potentials.
Ce mémoire s'inscrit dans le contexte général des opérateurs aléatoires discrets unidimensionnels. Dans ce cadre (chapitre 1), nous dégageons des éléments remarquables du système dynamique conduisant à des opérateurs ayant le même spectre. D'autre part, les principales propriétés spectrales des des opérateurs de Schrödinger sont décrites. En particulier la densité intégrée d'états est explicitement donnée pour un opérateur à potentiel périodique. Dans le chapitre 2, nous introduisons à partir du 2-odomètre, un nouveau potentiel, dit odométrique, qui est limite périodique et de type Gordon. Une approximation de la mesure de Lebesgue du spectre de tous ces opérateurs est obtenue. Enfin le chapitre 3 est consacré à l'étude des propriétés spectrales d'une nouvelle famille d'opérateurs, les opérateurs creux, définis par Hp = Sp + S-p + V (où S désigne l'opérateur décalage sur l2(Z), p un entier non nul, et V un potentiel). Dans certains cas particuliers, nous montrons que la nature du spectre de presque tous ces opérateurs ne dépend pas de p. Nous donnons des applications lorsque le potentiel est périodique, aléatoire, puis substitutif.
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Dates et versions

tel-00965017 , version 1 (24-03-2014)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00965017 , version 1

Citer

Claire Guille-Biel Winder. Contribution à l'étude des opérateurs de Schrödinger discrets. Systèmes dynamiques [math.DS]. Université de Provence - Aix-Marseille I, 1997. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00965017⟩
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