Modeling of the defining activity in mathematics and of its dialectic with the proving process Epistemological study and didactical challenges
Modélisation de l'activité de définition en mathématiques et de sa dialectique avec la preuve Étude épistémologique et enjeux didactiques
Résumé
This text proposes an epistemological modeling of the mathematical defining activity, and highlights the links between defining and proving. The goals are also didactical, in order to design, to analyze and to diffuse new situations involving defining activities. The focus of this research and the methodology are developed in the first part. The second part of this text presents a critical analysis of the international existing research regarding the study of the mathematical defining activity. It underscores several points of convergence, but also the tensions and lacks both from an epistemological and a didactical point of view in the modeling and the analysis of defining processes. The third part develops an epistemological reference modeling of the mathematical defining activity, taking into account the dialectic between defining and proving. This modeling with epistemological roots is also based upon several experiments (at secondary level and university level) and upon interviews with mathematicians. Theoretical frameworks from the didactic of mathematics (the model of conceptions among others) and mathematics (complexity theory) are called upon. The fourth and last part deals with new research perspectives from three points of view: epistemological, theoretical, and didactical/educational.
Cette note de synthèse pour une Habilitation à Diriger des Recherches présente une modélisation épistémologique de l'activité de définition en mathématiques, en explicitant la dialectique entre définition et preuve. Et cela, bien sûr, dans une perspective didactique, en vue de concevoir, analyser et transmettre des situations de construction de définitions. La première partie présente l'objet d'étude et la méthodologie. Une analyse critique des travaux de recherche internationaux en didactique sur l'étude l'activité de définition en mathématiques est présentée en deuxième partie. Sont soulignés en particulier les points de convergence et de tension, ainsi que les manques - épistémologiques et didactiques - sur la question. La troisième partie présente une modélisation épistémologique de référence de l'activité de définition en mathématiques, activité en dialectique avec la preuve, en prenant appui sur des expérimentations (niveaux secondaire et supérieur), et des entretiens avec des mathématiciens. Différents cadres théoriques issus de la didactique des mathématiques et des mathématiques sont sollicités. La quatrième et dernière partie aborde de nouvelles perspectives de recherche à trois niveaux (épistémologique, théorique, et didactique).
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