Estimation non-paramétrique dans les problèmes inverses à opérateur bruité

Thomas Vareschi 1
1 Statistiques
LPMA - Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires
Résumé : Cette thèse étudie l'effet de l'imprécision sur un opérateur intervenant dans la résolution d'un problème inverse. La problématique habituelle des problèmes inverses est l'approximation d'un signal d'entrée à partir de son image par un opérateur régularisant. A l'incertitude habituelle contaminant l'observation du signal de sortie, on ajoute cette erreur commise sur l'opérateur que l'on modélise par un processus Gaussien d'une certaine amplitude, potentiellement différente de la précédente. Nous nous intéressons plus particulièrement au cas où l'opérateur en question est un opérateur à noyau, lorsque ce dernier est lui même bruité. Ce modèle recouvre par exemple les cas de la convolution de Fourier périodique, de Laplace/Volterra, ou bien la convolution sphérique. \\Nous développons des procédures statistiques d'estimation dans chacun de ces cas, en traitant de manière adéquate la nouvelle erreur commise sur le noyau selon la forme de la matrice associée à un schéma de Galerkin. Plus précisément, nous étudions le risque quadratique dans le cas où cette dernière est diagonale, diagonale par blocs ou bien triangulaire inférieure et de Toeplitz. Dans chacun de ces cas, nous mettons en évidence de nouvelles vitesses de convergence faisant intervenir de manière explicite les deux paramètres d'incertitude (sur le signal de sortie et sur le noyau) et dont nous prouvons l'optimalité au sens minimax. Enfin, nous étudions spécifiquement le cas de la déconvolution sphérique en mettant à profit les needlets sphériques, sorte d'équivalent d'ondelettes sur la sphère, dans la construction d'une procédure qui traite ce même problème pour un risque en norme Lp.
Type de document :
Thèse
Statistiques [math.ST]. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2013. Français
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Contributeur : Thomas Vareschi <>
Soumis le : mardi 11 mars 2014 - 14:58:30
Dernière modification le : mercredi 12 octobre 2016 - 01:22:06
Document(s) archivé(s) le : mercredi 11 juin 2014 - 12:25:49

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Thomas Vareschi. Estimation non-paramétrique dans les problèmes inverses à opérateur bruité. Statistiques [math.ST]. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2013. Français. <tel-00957985>

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