Probabilistic numerical methods for high-dimensional stochastic control and valuation problems on electricity markets

Méthodes numériques probabilistes en grande dimension pour le contrôle stochastique et problèmes de valorisation sur les marchés d'électricité

Nicolas Langrené (1)

1 LPMA - Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires

This thesis deals with the numerical solution of general stochastic control problems, with notable applications for electricity markets. We first propose a structural model for the price of electricity, allowing for price spikes well above the marginal fuel price under strained market conditions. This model allows to price and partially hedge electricity derivatives, using fuel forwards as hedging instruments. Then, we propose an algorithm, which combines Monte-Carlo simulations with local basis regressions, to solve general optimal switching problems. A comprehensive rate of convergence of the method is provided. Moreover, we manage to make the algorithm parcimonious in memory (and hence suitable for high dimensional problems) by generalizing to this framework a memory reduction method that avoids the storage of the sample paths. We illustrate this on the problem of investments in new power plants (our structural power price model allowing the new plants to impact the price of electricity). Finally, we study more general stochastic control problems (the control can be continuous and impact the drift and volatility of the state process), the solutions of which belong to the class of fully nonlinear Hamilton-Jacobi-Bellman equations, and can be handled via constrained Backward Stochastic Differential Equations, for which we develop a backward algorithm based on control randomization and parametric optimizations. A rate of convergence between the constrained BSDE and its discrete version is provided, as well as an estimate of the optimal control. This algorithm is then applied to the problem of superreplication of options under uncertain volatilities (and correlations).

Cette thèse traite de la résolution numérique de problèmes de contrôle stochastique, illustrée d'applications sur les marchés d'électricité. Tout d'abord, nous proposons un modèle structurel pour le prix d'électricité, autorisant des pics de prix bien au delà du coût marginal de production lorsque le marché est tendu. Ce modèle permet de valoriser et couvrir partiellement des produits dérivés sur l'électricité, avec pour actifs de couverture des contrats à terme sur combustibles. Nous étudions ensuite un algorithme, à base de simulations de Monte-Carlo et régressions à base locale, pour résoudre des problèmes généraux de commutation optimale. Nous établissons un taux de convergence complet de la méthode. De plus, nous rendons l'algorithme parcimonieux en usage mémoire en permettant d'éviter le stockage du faisceau de trajectoires. Nous l'illustrons sur le problème d'investissements en centrales électriques (lesquelles se répercutent sur le prix d'électricité grâce à notre modèle structurel). Enfin, nous étudions des problèmes de contrôle stochastique plus généraux (où le contrôle peut être continu et modifier la dynamique du processus d'état), dont la solution peut être étudiée via des Équations Différentielles Stochastiques Rétrogrades contraintes, pour lesquelles nous développons un algorithme, qui combine randomisation du contrôle et optimisation paramétrique. Un taux de convergence entre l'EDSR contrainte et sa version discrète est fourni, ainsi qu'un estimateur du contrôle optimal. Nous appliquons ensuite cet algorithme au problème de sur-réplication d'option sous volatilité incertaine.

Mots clés: stochastic control; optimal switching; HJB equations; constrained BSDE; electricity market; investment choice; uncertain volatility

Mots clés: contrôle stochastique; commutation optimale; équations de HJB; EDSR contrainte; Monte-Carlo; marché d'électricité; choix d'investissement; volatilité incertaine

Domaines: Finance quantitative [q-fin.CP]; Pricing [q-fin.PR]; Probabilités [math.PR]; Analyse numérique [cs.NA]

Nicolas Langrené. Probabilistic numerical methods for high-dimensional stochastic control and valuation problems on electricity markets. Computational Finance [q-fin.CP]. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2014. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00957948v2⟩