Branching random walks with selection
Marches aléatoires avec branchement et sélection
Résumé
We consider branching Brownian motion which is a mathematical object modeling the evolution of a population. In this system, particles diffuse on the real line according to Brownian motions and branch independently into two particles at rate $1$. We are interested in the rightmost (resp. leftmost) position at time $t$, which is defined as the maximum (resp. minimum) among the positions occupied by the particles alive at this time. According to \citet{Lalley-Sellke1987}, every particle born in this system will have a descendant reaching the rightmost position at some future time. We study this phenomenon quantitatively, by estimating the first time when every particle alive at time $s$ has had such a descendant. We then study an analogous model the branching random walk in discrete time, in which random walks are indexed by a Galton-Watson tree. Similarly, we define the rightmost and the leftmost positions at the $n$-th generation. We consider the walk starting from the root which ends at the leftmost position. We show that this work, after being properly rescaled, converges in law to a normalized Brownian excursion. The last part of the thesis concerns the evolution of a population with selection. Given a regular tree in which each individual has $N$ children, we attach to each individual a random variable. All these variables are i.i.d., uniformly distributed in $[0,1]$. Selection applies as follows. An individual is kept if along the shortest path from the root to the individual, the attached random variables are increasing. All other individuals are killed. We study the asymptotic behaviors of the evolution of the population when $N$ goes to infinity.
Nous considérons le mouvement brownien branchant qui est un objet mathématique modélisant l'évolution d'une population. Dans ce système, les individus se déplacent indépendamment selon des mouvement browniens et se divisent indépendamment à taux 1 en deux individus. Nous nous intéressons à la position la plus à droite (resp. à gauche) au temps s, qui est définie comme le maximum (resp. le minimum) des positions des individus vivants à ce temps-là. D'après Lalley et Sellke \cite{Lalley-Sellke1987}, chaque individu apparu dans ce système aura un descendant atteignant la position la plus à droite. Nous étudions ce phénomène quantitativement, en estimant le premier instant où chaque individu vivant à l'instant s a eu un tel descendant. Nous étudions ensuite la marche aléatoire branchante en temps discret qui est un système analogue dans lequel les marches aléatoires sont indexées par un arbre de Galton-Watson. On définit de la même façon la position la plus à droite et celle la plus à gauche à la génération n. Nous considérons la marche partant de la racine qui va à la position la plus à gauche. le chemin reliant la racine à la position la plus à gauche. Nous montrons que cette marche, convenablement renormalisée, converge en loi vers une excursion brownienne normalisée. Dans la dernière partie de cette thèse, nous nous plaçons "dans un cadre avec un critère de sélection". Etant donné un arbre régulier dont chaque individu a N enfants, nous attachons à chaque individu une variable aléatoire. Toutes les variables attachées sont i.i.d., de loi uniforme sur [0,1]. La sélection intervient de la façon suivante: un individu est conservé si le long du chemin le plus court le reliant à la racine, les variables aléatoires attachées sont croissantes; les autres individus sont éliminés du système. Nous étudions le comportement asymptotique de la population dans le processus lorsque N tend vers l'infini.
Loading...