Flots stochastiques et représentation lookdown
Résumé
This thesis focuses on mathematical properties of two population models, namely the generalised Fleming-Viot process and the branching process. In both cases, the population is composed of infinitely many individuals characterised by a genetic type. As time passes, the asymptotic frequencies of the types within the population evolve stochastically through reproduction events where a uniformly chosen individual gives birth to a progeny with the same genetic type. Mathematically these two models are defined by measure-valued processes. In order to give a meaning to the genealogy of the underlying population, several approaches have been proposed these last fifteen years. One of the main contributions of this thesis is to unify two constructions: the lookdown representation introduced by Peter Donnelly and Thomas Kurtz in 1999 and the stochastic flow of bridges (or subordinators) introduced by Jean Bertoin and Jean-François Le Gall in 2000. This unification relies on the definition of new objects (the Eves, the stochastic flow of partitions) and necessitates a fine study of the asymptotic behaviours of the two aforementioned population models. In particular we define the Eve property as follows: if there is a genetic type whose asymptotic frequency tends to $1$ as $t$ becomes large then the population asymptotically descends from a single ancestor called the Eve of the population. In the case of the branching process, we obtain a necessary and sufficient condition on the branching mechanism ensuring the Eve property. We also provide a complete classification of all the possible asymptotic behaviours according to the branching mechanism. In the case of the generalised Fleming-Viot process, we obtain a partial classification of the possible asymptotic behaviours. Finally when the Eve property is fulfilled we present a pathwise construction of the lookdown representation from a stochastic flow of bridges (or subordinators). We also present a complete study of the explosive branching process conditioned to the non-explosion and provide an infinite collection of quasi-stationary distributions for this conditioned process. Finally we study the process of lengths of the evolving Kingman coalescent and propose an alternative construction to that of Pfaffelhuber, Wakolbinger and Weisshaupt.
Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques propriétés mathématiques de deux modèles de population : le processus Fleming-Viot généralisé d'une part et le processus de branchement d'autre part. Dans les deux cas, la population est composée d'une infinité d'individus, chacun étant caractérisé par un type génétique. Au cours du temps les fréquences asymptotiques de ces types évoluent de façon aléatoire au travers d'événements de reproduction où un individu tiré aléatoirement donne naissance à une descendance portant le même type génétique. Mathématiquement ces deux modèles sont décrits par des processus aléatoires à valeurs mesures. Afin de donner un sens à la généalogie de la population sous-jacente, plusieurs approches ont été proposées au cours des quinze dernières années. La contribution principale de cette thèse consiste en l'unification de deux constructions : la représentation lookdown définie par Peter Donnelly et Thomas Kurtz en 1999 et les flots stochastiques de ponts (ou de subordinateurs) introduits au début des années 2000 par Jean Bertoin et Jean-François Le Gall. Cette unification nécessite l'introduction d'objets nouveaux (les Eves, les flots stochastiques de partitions) et repose sur une étude fine des comportements asymptotiques des deux modèles mentionnés précédemment. En particulier, nous définissons la propriété d'Eve comme suit : si la fréquence asymptotique d'un type génétique tend vers $1$ lorsque $t$ devient grand alors la population descend asymptotiquement d'un seul individu au temps initial, appelé l'Eve de la population. Dans le cas des processus de branchement nous obtenons une condition nécessaire et suffisante sur le paramètre du modèle (aussi appelé mécanisme de branchement) qui assure que cette propriété d'Eve est vérifiée. Nous obtenons également une classification complète de tous les autres comportements possibles. Dans le cas des processus Fleming-Viot généralisés, nous obtenons une classification partielle des comportements possibles en fonction du paramètre du modèle. Enfin, lorsque la propriété d'Eve est vérifiée, nous construisons de façon trajectorielle la représentation lookdown à partir d'un flot stochastique de ponts (ou de subordinateurs). Nous présentons également une étude complète du processus de branchement explosif conditionné à la non-explosion et faisons apparaître une famille infinie de mesures quasi-stationnaires pour ce processus. Finalement nous nous intéressons au processus des longueurs du coalescent de Kingman dynamique et présentons une construction alternative à celle de Pfaffelhuber, Wakolbinger et Weisshaupt.
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