Ergodicité et fonctions propres du laplacien sur les grands graphes réguliers

Résumé : Dans cette thèse, nous étudions les propriétés de concentration des fonctions propres du laplacien discret sur des graphes réguliers de degré fixé dont le nombre de sommets tend vers l'infini. Cette étude s'inspire de la théorie de l'ergodicité quantique sur les variétés. Par analogie avec cette dernière, nous développons un calcul pseudo-différentiel sur les arbres réguliers : nous définissons des classes de symboles et des opérateurs associés, et nous prouvons un certain nombre de propriétés de ces classes de symboles et opérateurs. Nous montrons notamment que les opérateurs sont bornés dans L², et nous donnons des formules de l'adjoint et du produit. Nous nous servons ensuite de cette théorie pour montrer un théorème d'ergodicité quantique pour des suites de graphes réguliers dont le nombre de sommets tend vers l'infini. Il s'agit d'un résultat de délocalisation de la plupart des fonctions propres dans la limite des grands graphes réguliers. Les graphes vérifient une hypothèse d'expansion et ne comportent pas trop de cycles courts, deux hypothèses vérifiées presque sûrement par des suites de graphes réguliers aléatoires.
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Thèse
Mathématiques générales [math.GM]. Université Paris Sud - Paris XI, 2013. Français. 〈NNT : 2013PA112179〉
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Soumis le : vendredi 27 septembre 2013 - 11:22:12
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Etienne Le Masson. Ergodicité et fonctions propres du laplacien sur les grands graphes réguliers. Mathématiques générales [math.GM]. Université Paris Sud - Paris XI, 2013. Français. 〈NNT : 2013PA112179〉. 〈tel-00866843〉

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