Controllability of systems governed by partial differential equations
Contrôlabilité de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles
Résumé
This work presents some controllability results for two kinds of systems of partial differential equations: a hyperbolic system with essential spectrum and parabolic systems with non constant coefficients. We first recall some general results on existence and uniqueness of solutions for these systems and on the duality between controllability and observability. Then we present two methods to prove observability inequalities: the Ingham inequality and the Carleman inequality. This first part allows us to state the context of the main results, which are proven in the second part. The second part begins with the study of the exact boundary controllability of a hyperbolic system, which consists of a wave equation coupled (by means of first-order terms in space) with a second-order differential equation in time. For this system, the presence of an essential spectrum prevents the controllability from holding uniformly with respect to the initial data. Therefore, we characterize the space consisting of controllable initial data. To prove the result, we establish an Ingham type inequality which relies on a detailed study of the eigenvalues. Secondly, we prove a sufficient condition for the null controllability--by one or two controls localized in space--of systems of three parabolic equations coupled by zero-order terms. We present a new approach relying on the existence of a solution controlled by three controls and on the proof of a weighted observability inequality for the null controllability, on the whole domain, of a non-homogeneous parabolic system of one or two equations. The results of this part are illustrated by numerical experiments.
Cette thèse présente des résultats de contrôlabilité pour deux types de systèmes d'équations aux dérivées partielles : un système hyperbolique avec spectre essentiel et des systèmes paraboliques à coefficients non constants. On commence par rappeler des résultats généraux d'existence et d'unicité de solutions pour ces systèmes et de dualité entre contrôlabilité et observabilité, puis on présente deux outils (l'inégalité de Ingham et l'inégalité de Carleman) permettant d'établir des inégalités d'obser- vabilité. Cette première partie permet de situer les résultats principaux qui sont démontrés ensuite. Dans la deuxième partie, on étudie tout d'abord la contrôlabilité exacte, par le bord et avec un seul contrôle, d'un système hyperbolique formé d'une équation des ondes couplée avec une équation diffé- rentielle du second ordre en temps. La présence de spectre essentiel empêchant la contrôlabilité d'avoir lieu uniformément en les données initiales, on caractérise l'espace des données initiales contrôlables. L'argument principal consiste à établir une inégalité de type Ingham reposant sur une étude détaillée des valeurs propres. Dans un second temps, on prouve une condition suffisante pour la contrôlabilité interne à zéro, par un ou deux contrôles, de systèmes de trois équations paraboliques couplées par des termes d'ordre zéro. On présente une nouvelle approche basée sur l'existence d'une solution contrôlée par trois contrôles et sur la démonstration d'une inégalité d'observabilité à poids associée à la contrô- labilité sur tout le domaine d'un système parabolique non homogène de une ou deux équations. Les résultats de cette partie sont illustrés par des exemples numériques.