Typical behaviours of cellular automata
Comportements typiques dans les automates cellulaires
Résumé
We investigate the typical behaviours of cellular automata (CA) from various point of view. First we focus on the typical behaviour of particular CA through the notion of mu-limit sets. Then we formalize the idea of density of properties among the set of all CA (or any subset of CA). We also investigate particular classes of cellular automata, mainly multiset CA.
Nous abordons les automates cellulaires (AC) en cherchant à dégager des informations quantitatives et en particulier à préciser les comportements répandus. Nous étudions en guise de prélude des AC présentant une forte symétrie de la règle locale (AC dits multi-ensemblistes). Les règles locales qui les définissent ont la propriété de pouvoir être utilisées facilement pour différente tailles de voisinage, et nous exhibons des règles, pour chaque dimension, qui sont universelles pour une infinité de tailles. Nous formalisons ensuite la notion de densité d'une propriété parmi l'ensemble des AC. En remarquant que les propriétés répandues sont liées aux propriétés des objets aléatoires au sens de Kolmogorov, et en utilisant divers outils combinatoires nous montrons la négligeabilité (au sens quantitatif) de propriétés non seulement syntaxiques (injectivité, surjectivité, présence d'états persistants ou envahissants), mais aussi dynamiques (nilpotence, certaines contraintes sur l'ensemble limite...). Et nous montrons à l'opposé que l'universalité intrinsèque , propriété qui semble à priori exigeante, est pour de nombreuses sous-familles une propriété très répandue. En ce qui concerne le comportement typique à long terme d'un AC fixé, la mu-nipotence, que nous introduisons à partir de la notion d'ensembles mu-limites, permet de caractériser les AC convergeant presque toujours vers une configuration unique. Nous montrons que celle-ci n'est ni récursivement énumérable ni co-récursivement énumérable. Ceci montre que la difficulté calculatoire de la prédiction du comportement à long terme des AC n'est pas due à des ensembles de configurations négligeables. Nous exhibons aussi des ensembles mu-limites aux langages non récursifs. Enfin nous montrons des résultats d'existence et de non-existence d'AC universels pour la relation de simulation dite surjective parmi certaines sous-familles.
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