Contributions to numerical methods for coupled problems and incompressible flow
Contributions aux méthodes numériques pour les problèmes couplés et les écoulements incompressibles
Résumé
The work summarized in this memoir stem from one of the following two topics: the modeling and numerical simulation of coupled systems (Chapters 1-3) and the stabilized finite element methods for transient problems (Chapter 4). These works are mainly motivated by the study of the aeroelastic stability of civil engineering structures and the numerical simulation of blood flow and of cardiac electrophysiology. As regards fluid-structure interaction, we couple the Navier-Stokes equation in moving domains with the nonlinear elastodynamics equation. We investigate the stability of the equilibrium states of the system via an analysis of the harmonic solutions of a specific linear problem. In the context of the temporal simulation, we propose an exact Newton method for the solution of implicit coupling schemes. Then we address the following question: how to avoid strong coupling without compromising stability? This issue is addressed through two different perspectives: through projection based semi-implicit coupling, and with an appropriate weak treatment of the coupling conditions. We also address the numerical simulation of the ECG using a 3D mathematical model fully based on PDE/ODE. The main ingredients of this model are: phenomenological cell dynamics, bidomain equation (in the heart) and generalized Laplace equation (in the torso). Other key aspects of the modeling are highlighted, which allows us to simulate realistic 12-lead ECGs. Some time discretization schemes for the bidomain equation and the heart-torso system are analyzed. Finally, we generalize the continuous interior penalty method to the Oseen problem and the transient Navier-Stokes equation. A priori error bounds uniform on the viscosity coefficient are provided for arbitrary equal-order velocity/pressure approximations. We present an abstract error analysis for symmetric stabilization methods applied to the transient Stokes and the transient reaction-advection-diffusion equations. For Stokes we show that the small time-step stability can be removed by a suitable choice of the initial velocity approximation. For reaction-advection-diffusion we address the problem of the stencil increase (introduced by the stabilization operator) via an explicit treatment of the stabilization.
Les travaux résumés dans ce mémoire s'articulent, essentiellement, autour des deux thématiques suivantes: la modélisation et la simulation numériques de systèmes couplés (Chapitres 1-3) et les méthodes d'éléments finis stabilisées pour des problèmes transitoires (Chapitre 4). Ces travaux sont essentiellement motivés par l'étude de la stabilité aéroélastique de structures du génie civil et la simulation numérique de l'écoulement du sang et de l'électrophysiologie cardiaque. Dans le cadre de l'interaction fluide-structure, nous couplons les équations de Navier-Stokes en domaine mobile avec l'équation de l'élastodynamique non-linéaire. Nous étudions la stabilité des états d'équilibre du système à partir de l'analyse des solutions harmoniques d'un problème linéaire spécifique. Dans le contexte de la simulation temporelle, nous proposons une méthode de Newton exacte pour la résolution des schémas de couplage implicite. Puis nous nous intéressons à la question suivante: comment éviter le couplage fort sans compromettre la stabilité? Cette question est abordée de deux points de vue différents: via le couplage semi-implicite avec projection et par un traitement faible approprié des conditions d'interface au niveau discret. Nous abordons aussi la simulation numérique des ECG en utilisant un modèle mathématique 3D complet, entièrement basée sur des EDP/EDO. Les principaux ingrédients de ce modèle sont: dynamique phénoménologique au niveau cellulaire, équation bidomaine (dans le cœur) et équation de Laplace généralisée (dans le torse). D'autres aspects essentiels à la modélisation sont élucidés, ce qui nous permet de simuler des ECGs complets réalistes. Quelques schémas de discrétisation en temps pour l'équation bidomaine et le système couplé cœur-torse sont analysés. Enfin, nous généralisons la méthode de pénalisation intérieure conforme au problème d'Oseen et aux équations de Navier-Stokes transitoires. Des estimations d'erreur a priori (uniformes par rapport à la viscosité) sont fournies pour des approximations vitesse/pression du même ordre. Une analyse d'erreur abstraite pour des méthodes de stabilisation symétriques est présentée pour l'équation de Stokes et l'équation de réaction-advection-diffusion transitoires. Dans le cas de Stokes, nous montrons que l'instabilité des petits pas de temps peut être éliminée par un choix judicieux de l'approximation de la vitesse initiale. Pour l'équation de réaction-advection-diffusion, nous contournons le problème de la réduction de la structure creuse de la matrice (due à l'opérateur de stabilisation) par un traitement explicite de la stabilisation.
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