. Démonstration, Le localisé d'un anneau factoriel est factoriel 4 , donc d'après la remarque A.3.1.6, il suffit de vérifier que S ?1 A est un anneau de Dedekind. Soit p un idéal premier non nul de S ?1 A. Alors p ? := p ? A est un idéal premier de A

A. Corollaire, L. Et-o-l-la-fermeture-intégrale-de-z-p-dans, and O. Zp, 3.2.2 Soient p un nombre premier, L une extension algébrique de Q p

. Démonstration, A. La-remarque, ?. O-l-n, and . N}, On applique donc la proposition A.3.2.1, à A := O L

A. Définition, Si A n'est pas un corps, un A-module M est dit pseudo-nul lorsque pour tout idéal premier p de hauteur 1, on a M p = 0, où M p est le localisé de M en p. (Si A est un corps, un A-espace vectoriel est dit pseudo-nul si et seulement si il est nul

A. Exemple, 3.3.2 Soit A un anneau de Dedekind. Un A-module M est pseudo-nul si et seulement si il est nul

A. Exemple, 3.3 Soient p un nombre premier et L une extension algébrique de degré fini de Q p . Soit O L la fermeture intégrale de Z p dans L. Alors un O L

S. {1}, dans le cas p = 2, la condition A.4.2.5 est nécessaire et suffisante pour que X m/n ? ? m/n soit irréductible), tous les cas (le cas µ m (K) = {1} est trivial), on a alors N ? (?) = (?1) 1+m

A. K. Corollaire and . Le-morphisme-canonique, On suppose que L/K (µ m ) est kummérienne d'exposant divisant m, Soit W := K (µ m ) × ? L × m . On suppose que tout élément de W est congru à un élément de k modulo K (µ m ) × m

. D. Démonstration, après la proposition A.4.2.2, il suffit de prouver que Gal (k sep /k) agit trivialement sur le noyau de

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