Contribution à l’étude de la conjecture de Gras et de la conjecture principale d’Iwasawa, par les systèmes d’Euler

Résumé : Le but de ce travail est de montrer comment la théorie des systèmes d’Euler permet de comparer, dans certaines extensions abéliennes, le module galoisien des unités globales modulo unités de Stark avec le module galoisien des p-classes d’idéaux. On ne s’intéresse ici qu’aux extensions abéliennes ayant pour corps de base k un corps quadratique imaginaire, ou un corps global de caractéristique non nulle. La conjecture de Gras prévoit que pour toute extension abélienne finie K/k, tout nombre premier p premier à [K : k], et tout Qp-caractère ψ irréductible et non trivial de Gal (K/k), les ψ-parties du groupe des p-classes de K et du groupe des unités de K modulo le groupe des unités de Stark ont le même cardinal. Après avoir démontré une version faible de la conjecture, nous reprenons la méthode des systèmes d’Euler afin d’étendre les résultats obtenus entre autres par Rubin, Xu et Zhao. Ensuite nous nous plaçons dans le cas où k est un corps quadratique imaginaire uniquement, et nous considérons une certaine Zp-extension k∞ de k, où p est un nombre premier différent de 2 et 3, décomposé dans k. Nous démontrons que pour toute extension finie K∞ de k∞ abélienne sur k, et tout Cp-caractère irréductible χ du sous-groupe de torsion de Gal(K∞/k), les idéaux caractéristiques des χ-quotients du module des p-classes et du module des unités modulo unités de Stark sont les mêmes. Il s'agit d'une des versions de la conjecture principale de la théorie d’Iwasawa, qui élargit un résultat de Rubin et Bley. C'est aussi une étape pour un travail ultérieur, où nous étendons un résultat de Rubin concernant la conjecture principale à deux variables
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Systèmes dynamiques [math.DS]. Université de Franche-Comté, 2011. Français. 〈NNT : 2011BESA2026〉
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Soumis le : lundi 1 juillet 2013 - 10:47:11
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Stéphane Viguié. Contribution à l’étude de la conjecture de Gras et de la conjecture principale d’Iwasawa, par les systèmes d’Euler. Systèmes dynamiques [math.DS]. Université de Franche-Comté, 2011. Français. 〈NNT : 2011BESA2026〉. 〈tel-00839919〉

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