Contribution to algorithmic strategies for solving coupled thermo-mechanical problems by an energy-consistent variational approach
Contribution au développement de stratégies algorithmiques pour la résolution de problèmes thermo-mécaniques couplés par une approche énergétique variationnelle
Résumé
Sources of thermo-mechanical coupling in visco-elastic materials are various: viscous dissipation, dependence of material characteristics on temperature, ... Numerical simulation of these kinds of coupling can be challenging especially when strong coupling effects are present. Various algorithmic approaches have been proposed in the literature for this type of problem, and fall within two alternative strategies: - Monolithic (or simultaneous) approaches that consists of resolving simultaneously mechanical and thermal balance equations, where time stepping algorithm is applied to the full problem of evolution. - Staggered approaches in which the coupled system is partitioned and each partition is treated by a different time stepping algorithm. The goal is to obtain a good compromise between the following aspects: precision, stability and com- putational cost. Monolithic schemes have the reputation of being unconditionally stable, but they may lead to impossibly large systems, and do not take advantage of the different time scales involved in the problem, and often lead to non-symmetric formulations. Staggered schemes were designed to overcome these drawbacks, but unfortunately, they are conditionally stable (limited in time step size). Recently, a new variational formulation of coupled thermo-mechanical boundary value problems has been proposed (Yang et al., 2006), allowing to write mechanical and thermal balance equations under the form of an optimisation problem of a scalar energy-like functional. This functional is analysed in the framework of a thermo-visco-elastic strongly coupled problem, considering at first a simplified problem, and then a more general 2D and 3D case. The variational approach has many advantages, in particular the fact that it leads to a symmetric numerical formulation has been exploited in deriving alternative optimization strategies. These various algorithmic schemes were tested and analysed aiming to find the one that exhibits the best computational costs.
Les sources de couplage thermomécanique dans les matériaux viscoélastiques sont multiples : thermo-élasticité, dissipation visqueuse, évolution des caractéristiques mécaniques avec la température. La simulation numérique de ces couplages en calcul des structures présente encore un certain nombre de défis, spécialement lorsque les effets de couplage sont très marqués (couplage fort). De nombreuses approches algorithmiques ont été proposées dans la littérature pour ce type de problème. Ces méthodes vont des approches monolithiques, traitant simultanément l'équilibre mécanique et l'équilibre thermique, aux approches étagées, traitant alternativement chacun des sous-problèmes mécanique et thermique. La difficulté est d'obtenir un bon compromis entre les aspects de précision, stabilité numérique et coût de calcul. Récemment, une approche variationnelle des problèmes couplés a été proposée par Yang et al. (2006), qui permet d'écrire les équations d'équilibre mécanique et thermique sous la forme d'un problème d'optimisation d'une fonctionnelle scalaire. Cette approche variationnelle présente notamment les avantages de conduire à une formulation numérique à structure symétrique, et de permettre l'utilisation d'algorithmes d'optimisation. Dans ce travail on utilise l'approche variationnelle pour résoudre le problème thermo-visco-élastique fortement couplé, puis on compare plusieurs schémas algorithmiques afin de trouver celui qui présente les meilleures performances.