Analysis and Design of Non-Binary LDPC Codes over Fading Channels
Analyse et construction de codes LDPC non-binaires pour des canaux à évanouissement
Résumé
Over the last 15 years, spectacular advances in the analysis and design of graph-based codes and iterative decoding techniques paved the way for the development of error correction systems operating very close to the theoretical Shannon limit. A prominent role has been played by the class of Low Density Parity Check (LDPC) codes, introduced in the early 60's by Gallager's and described latter in terms of sparse bipartite graphs. In the early 2000's, LDPC codes were shown to be capacity approaching codes for a wide range of channel models, which motivated the increased interest of the scienti c community and supported the rapid transfer of this technology to the industrial sector. Over the past few years there has been an increased interest in non-binary LDPC codes due to their enhanced correction capacity. Although Gallager already proposed in his seminal work the use of non-binary alphabets (by using modular arithmetic), non-binary LDPC codes de ned over nite elds have only been investigated starting with the late 90's. They have been proven to provide better performance than their binary counterparts when the block-length is small to moderate, or when the symbols sent through channel are not binary, which is the case for high-order modulations or for multiple-antennas channels. However, the performance gain comes at a non-negligible cost in the decoding complexity, which may prohibit the use of non-binary LDPC codes in practical systems, especially when the price to pay in decoding complexity is too high for the performance gain that one can get. This thesis addresses the analysis and design of non-binary LDPC codes for fading channels. The main goal is to demonstrate that besides the gain in the decoding performance, the use of non-binary LDPC codes can bring additional bene ts that may o set the extra cost in decoding complexity. Flexibility and diversity are the two bene ts that we demonstrate in this thesis. The exibility is the capacity of a coding system to accommodate multiple coding rates through the use of a unique encoder/decoder pair. The diversity of a coding system relates to its capacity to fully exploit the communication channel's heterogeneity. The rst contribution of the thesis is the development of a Density Evolution approximation method, based on the Monte-Carlo simulation of an in nite code. We show that the proposed method provides accurate and precise estimates of non-binary ensemble thresholds, and makes possible the optimization of non-binary codes for a wide range of applications and channel models. The second contribution of the thesis consists of the analysis and design of exible coding schemes through the use of puncturing. We show that the non-binary LDPC codes are more robust to puncturing than their binary counterparts, thanks to the fact that non-binary symbol-nodes can be only partially punctured. For regular codes, we show that the design of puncturing patterns must respect di erent rules depending on whether the symbol-nodes are of degree 2 or higher. For irregular codes we propose an optimization procedure and we present optimized puncturing distributions for non-binary LDPC codes, iii which exhibit a gap to capacity between 0.2 and 0.5dB , for punctured rates varying from 0.5 to 0.9. The third contribution investigates the non-binary LDPC codes transmitted over a Rayleigh (fast) fading channel, in which di erent modulated symbols are a ected by different fading factors. In case of one-to-one correspondence between modulated and coded symbols, deep fading can make some coded symbols totally unrecoverable, leading to a poor system performance. In order to avoid this phenomenon, binary diversity can be exploited by using a bit-interleaver module placed between the encoder and the modulator. We propose an optimized interleaving algorithm, inspired from the Progressive Edge- Growth (PEG) method, which ensures maximum girth of the global graph that extends the bipartite graph of the code with a new ensemble of nodes representing the modulated symbols. The optimized interleaver shows a gain with respect to the random interleaver, as far as performance and error detection rates are concerned. Finally, the fourth contribution consists of a exible coding scheme that achieves full-diversity over the block fading channel. The particularity of our approach is to rely on Root non-binary LDPC codes coupled with multiplicative non-binary codes, so that to easily adapt the coding rate to the number of fading blocks. A simple combining strategy is used at the receiver end before the iterative decoding. As a consequence, the decoding complexity is the same, irrespective of the number of fading blocks, while the proposed technique brings an effective coding gain.
Au cours des 15 dernières années, des progrès spectaculaires dans l'analyse et la conception des codes définis par des graphes bipartites et décodables par des algorithmes itératifs ont permis le développement de systèmes de correction d'erreurs, avec des performances de plus en plus proches la limite théorique de Shannon. Dans ce contexte, un rôle déterminant a été joué par la famille des codes à matrice de parité creuse, appelés codes LDPC (pour " Low-Density Parity-Check ", en anglais), introduit par Gallager au début des années 60 et décrits plus tard en termes de graphes bipartites. Négligés pendant de longues années, ces codes ont été redécouverts à la fin des années 90, après que la puissance du décodage itératif a été mise en évidence grâce à l'invention des Turbo-codes. Ce n'est qu'au début des années 2000 que les techniques nécessaires à l'analyse et l'optimisation des codes LDPC ont été développées, techniques qui ont permis ensuite la construction des codes avec des performances asymptotiques proches de la limite de Shannon. Cette remarquable avancée a motivé l'intérêt croissant de la communauté scientifique et soutenu le transfert rapide de cette technologie vers le secteur industriel. Plus récemment, un intérêt tout particulier a été porté aux codes LDPC définis sur des alphabets non-binaires, grâce notamment à leur meilleure capacité de correction en " longueur finie ". Bien que Gallager ait déjà proposé l'utilisation des alphabets non-binaires, en utilisant l'arithmétique modulaire, les codes LDPC non-binaires définis sur les corps finis n'ont étés étudiés qu'à partir de la fin des années 90. Il a été montré que ces codes offrent de meilleures performances que leurs équivalents binaires lorsque le bloc codé est de longueur faible à modérée, ou lorsque les symboles transmis sur le canal sont eux-mêmes des symboles non- binaires, comme par exemple dans le cas des modulations d'ordre supérieur ou des canaux à antennes multiples. Cependant, ce gain en performance implique un coût non négligeable en termes de complexité de décodage, qui peut entraver l'utilisation des codes LDPC non binaires dans des systèmes réels, surtout lorsque le prix à payer en complexité est plus important que le gain en performance. Cette thèse traite de l'analyse et de la conception des codes LDPC non binaires pour des canaux à évanouissements. L'objectif principal de la thèse est de démontrer que, outre le gain en performance en termes de capacité de correction, l'emploi des codes LDPC non binaires peut apporter des bénéfices supplémentaires, qui peuvent compenser l'augmentation de la complexité du décodeur. La " flexibilité " et la " diversité " représentent les deux bénéfices qui seront démontrées dans cette thèse. La " flexibilité " est la capacité d'un système de codage de pouvoir s'adapter à des débits (rendements) variables tout en utilisant le même encodeur et le même décodeur. La " diversité " se rapporte à sa capacité d'exploiter pleinement l'hétérogénéité du canal de communication. La première contribution de cette thèse consiste à développer une méthode d'approximation de l'évolution de densité des codes LDPC non-binaires, basée sur la simulation Monte-Carlo d'un code " infini ". Nous montrons que la méthode proposée fournit des estimations très fines des performances asymptotiques des codes LDPC non-binaires et rend possible l'optimisation de ces codes pour une large gamme d'applications et de modèles de canaux. La deuxième contribution de la thèse porte sur l'analyse et la conception de système de codage flexible, utilisant des techniques de poinçonnage. Nous montrons que les codes LDPC non binaires sont plus robustes au poinçonnage que les codes binaires, grâce au fait que les symboles non-binaires peuvent être partialement poinçonnés. Pour les codes réguliers, nous montrons que le poinçonnage des codes non-binaires obéit à des règles différentes, selon que l'on poinçonne des symboles de degré 2 ou des symboles de degré plus élevé. Pour les codes irréguliers, nous proposons une procédure d'optimisation de la " distribution de poinçonnage ", qui spécifie la fraction de bits poinçonnés par symbole non-binaire, en fonction du degré du symbole. Nous présentons ensuite des distributions de poinçonnage optimisées pour les codes LDPC non binaires, avec des performances à seulement 0,2 - 0,5 dB de la capacité, pour des rendements poinçonnés variant de 0,5 à 0,9. La troisième contribution de la thèse concerne les codes LDPC non binaires transmis sur un canal de Rayleigh à évanouissements rapides, pour lequel chaque symbole modulé est affecté par un coefficient d'évanouissement différent. Dans le cas d'une correspondance biunivoque entre les symboles codés et les symboles modulés (c.-à-d. lorsque le code est définit sur un corps fini de même cardinalité que la constellation utilisée), certains symboles codés peuvent être complètement noyés dans le bruit, dû aux évanouissements profonds du canal. Afin d'éviter ce phénomène, nous utilisons un module d'entrelacement au niveau bit, placé entre l'encodeur et le modulateur. Au récepteur, le module de désentrelacement apporte de la diversité binaire en entrée du décodeur, en atténuant les effets des différents coefficients de fading. Nous proposons un algorithme d'entrelacement optimisé, inspirée de l'algorithme " Progressive Edge-Growth " (PEG). Ainsi, le graphe bipartite du code est élargi par un nouvel ensemble de nœuds représentant les symboles modulés, et l'algorithme proposé établit des connections entre les nœuds représentant les symboles modulés et ceux représentant les symboles codés, de manière à obtenir un graphe élargi de maille maximale. Nous montrons que l'entrelaceur optimisé permet d'obtenir un gain de performance par rapport à un entrelaceur aléatoire, aussi bien en termes de capacité de correction que de détection d'erreurs. Enfin, la quatrième contribution de la thèse consiste en un schéma de codage flexible, permettant d'atteindre la diversité maximale d'un canal à évanouissements par blocs. La particularité de notre approche est d'utiliser des codes Root-LDPC non binaires couplés avec des codes multiplicatifs non binaires, de manière à ce que le rendement de codage puisse facilement s'adapter au nombre de blocs d'évanouissement. Au niveau du récepteur, une simple technique de combinaison de diversité est utilisée en entrée du décodeur. Comme conséquence, la complexité du décodage reste inchangée quel que soit le nombre de blocs d'évanouissement et le rendement du code utilisé, tandis que la technique proposée apporte un réel bénéfice en termes de capacité de correction.
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