Numerical methods for hyperbolic systems with source term issuing from complex physic for radiation

Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme source provenant de physiques complexes autour du rayonnement

Céline Sarazin Desbois (1)

1 LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray

This work is devoted to numerical approximation of radiative transfer models. On the one hand, we focus on the discrete ordinates model. In order to couple this phenomena with slower ones, accurate and efficient numerical methods for long times are recquired. From a double time-space approximation of the solution, a high order GRP type scheme is developped with unrestricted time steps for hyperbolic linear systems on unstructured meshes. This scheme is then extended to discrete ordinates model. On the other hand, we focus on moment models of radiative transfer. Actually, in many applications, they remain a lot of properties from the RTE and give a sufficient approximation of the solution. Once the Riemann problem of the grey M1 model is solved, the numerical approximation of the multigroupeM1 model is considered. A particular attention is paid on the calculation of opacity means and closure laws. A precalculation algorithm is developped. The last application is concerned with an extension of radiative transfer to estimate the dose in radiotherapy. Unlike the usual greyM1 model, the space dependence in the fluxes is not necessary smooth. Thanks to changings of variables, a backward HLL scheme is developped. Many examples illustrate the interest of the obtained schemes.

Ce manuscrit est dédié à l'approximation numérique de plusieurs modèles du transfert radiatif. Dans un premier temps, l'attention est portée sur le modèle cinétique d'ordonnées discrètes. Dans le but de coupler ce modèle avec d'autres phénomènes plus lents, il est nécessaire d'avoir des méthodes numériques performantes et précises sur des temps longs. À partir d'une double approximation polynomiale de la solution en temps et en espace, on développe un schéma de type GRP d'ordre élevé sans restriction sur le pas de temps pour un système hyperbolique linéaire sur des maillages non structurés. Ce schéma est ensuite étendu pour le modèle d'ordonnées discrètes. Dans un second temps, on s'intéresse à des modèles aux moments issus du transfert radiatif. En effet, dans certaines applications, les modèles aux moments de type M1 conservent de nombreuses propriétés de l'ETR et fournissent une approximation suffisante de la solution. Après avoir résolu le problème de Riemann associé au modèle M1 gris, on considère l'approximation numérique du modèle M1 multigroupe. Une attention particulière est portée sur le calcul des moyennes d'opacités et des lois de fermeture. Un algorithme de précalculs est alors mis en place. La dernière application traitée dans ce mémoire porte sur une extension du transfert radiatif pour estimer des doses de radiothérapie. À la différence du M1 gris usuel, les flux dépendent ici de fonctions peu régulières en espace. Grâce à des changements de variables, un schéma HLL rétrograde est développé. De nombreux exemples numériques illustrent l'intérêt des schémas obtenus dans cette étude.

Mots clés: Hyperbolic systems with source terms; radiative transfer; SN model; M1 grey model and M1 multigroup; space-time high order GRP type scheme; asymptotic preserving scheme; Riemann problem; radiotherapy; scheme for discontinuous flux fonctions.

Mots clés: Systèmes hyperboliques avec termes sources; transfert radiatif; modèle SN; modèles M1 gris et M1 multigroupe; schéma GRP espace-temps d'ordre élevé; schéma préservant l'asymptotique; problème de Riemann; radiothérapie; schémas pour des flux discontinus

Domaines: Analyse numérique [math.NA]

Céline Sarazin Desbois. Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme source provenant de physiques complexes autour du rayonnement. Analyse numérique [math.NA]. Université de Nantes, 2013. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00814182⟩