Matrices polynomiales et égalisation de canal - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Hdr Année : 2013

Matrices polynomiales et égalisation de canal

Polynomial matrices and channel equalization

Résumé

In this thesis, we focus on a particular type of matrices: Laurent polynomial matrices whose elements are Laurent polynomials, ie polynomials with positive and negative powers of $ z $. Such polynomials cannot be associated to a causal filter but they occur when considering the spectrum of finite impulse response filter output. First, we present the properties of Laurent polynomials and Laurent polynomial matrices. We define the L-Smith form which is an extension of the classical Smith form of a polynomial matrix and give a precise definition of the degree and the order of these matrices (sometimes confused notions in the literature). We then study para-Hermitian matrices and para-unitary matrices which are respectively equal to their para-conjugated or whose inverse is equal to the para-conjugated. We develop their properties in terms of particular degree and factorization. In system theory and signal processing, many factorizations of matrices with constant coefficients are involved: QR factorizations (using an orthogonal and a triangular matrix), LU (using two triangular matrices: one lower and one upper), SVD (singular value decomposition using two unitary matrices) EVD (eigenvalue decompositions). In particular, the spectral theorem shows that every hermitian matrix can be diagonalized using a unitary matrix. The Cholesky factorization of a hermitian positive definite matrix uses a triangular matrix and its conjugate transpose. These factorizations cannot be extended to polynomial matrices because the coefficients of these matrices do not belong to a field but a ring (that of Laurent polynomials). We show that in the general case, a polynomial EVD decomposition of a para-Hermitian matrix which is positive definite on the unit circle does not exist, but one can almost-diagonalize these matrices using para-unitary matrices which are continuous on the unit circle. Finally, we show what role para-unitary matrices factorizations plays in blind equalization of convolutive multivariable systems.
Dans ce mémoire, nous nous focaliserons sur un type de matrices particulier : les matrices polynomiales de Laurent, dont les éléments sont des polynômes de Laurent, c'est à dire des polynômes avec des puissances positives et négatives de la variable $z$. Ce type de polynômes ne peut être associé à un filtre causal mais il se rencontre notamment lorsqu'on étudie le spectre de signaux à temps discret en sortie de filtre à réponse impulsionnelle finie. Nous commencerons par présenter les propriétés des polynômes de Laurent, puis des matrices polynomiales de Laurent. Nous définirons notamment la L-forme de Smith qui est une extension de la forme de Smith classique, et donnerons une définition précise du degré et l'ordre de ces matrices (notions parfois confondues dans la littérature). Nous étudierons plus particulièrement les matrices para-hermitiennes et para-unitaires qui sont des matrices respectivement égales à leur matrice para-conjuguée ou dont l'inverse est égale à la para-conjuguée. Nous nous attacherons à développer leurs propriétés particulières en terme de degré notamment, et de factorisation. Lors de l'étude des systèmes et en traitement du signal, de nombreuses factorisations de matrices à coefficients constants interviennent: factorisations QR (à l'aide d'une matrice orthogonale et d'une matrice triangulaire), LU (à l'aide de deux matrices triangulaires: une inférieure et une supérieure), SVD (décompositions en valeurs singulières à l'aide de deux matrices unitaires), EVD (décompositions en valeurs propres-vecteurs propres). En particulier, le théorème spectral montre que toute matrice hermitienne est diagonalisable à l'aide d'une matrice unitaire, c'est-à-dire que les matrices intervenant dans l'EVD sont des matrices unitaires. La factorisation de Cholesky d'une matrice hermitienne définie positive se fait quant à elle à l'aide d'une matrice triangulaire et de sa transposée conjuguée. Ces factorisations ne peuvent pas s'étendre simplement aux matrices polynomiales car les coefficients de ces matrices n'appartiennent pas à un corps mais à un anneau (celui des polynômes de Laurent). De plus, certaines propriétés, comme par exemple la positivité, ne peuvent s'entendre que sur le cercle unité. Nous montrerons que dans le cas général, une décomposition EVD dont tous les termes sont polynomiaux pour une matrice para-hermitienne définie positive sur le cercle unité n'existe pas, mais qu'on peut presque-diagonaliser ces matrices à l'aide de matrices para-unitaires continues sur le cercle unité. Enfin, nous montrerons quel rôle jouent les factorisations des matrices para-unitaires dans l'égalisation aveugle de systèmes convolutifs multivariables.
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tel-00805547 , version 1 (28-03-2013)

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  • HAL Id : tel-00805547 , version 1

Citer

Sylvie Icart. Matrices polynomiales et égalisation de canal. Traitement du signal et de l'image [eess.SP]. Université Nice Sophia Antipolis, 2013. ⟨tel-00805547⟩
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