Construction of rational maps with prescribed dynamics

Construction de fractions rationnelles à dynamique prescrite

Sébastien Godillon (1)

1 AGM - UMR 8088 - Analyse, Géométrie et Modélisation

In this thesis, we are interested in the existence criterions and the effective construction of rational maps with prescribed dynamics. We start by studying the same problem for some post-critically finite ramified coverings and we give a construction method from dynamical trees. Then we present a Thurston's theorem which provides a combinatorial characterization to go from the topological point of view to the analytical one. In particular, we generalize to non-post-critically finite maps a Levy's result which simplifies the Thurston's criterion in the polynomial case. We illustrate this generalization by a sufficient condition for existence of polynomials with a fixed Siegel disk of bounded type. Next we detail the construction by quasiconformal surgery of an example of non-post-critically finite rational map whose dynamics is described by a tree. More generally, we show that a result of Cui Guizhen and Tan Lei allows to construct a family of rational maps with disconnected Julia sets from some weighted Hubbard trees.

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux critères d'existence et à la construction effective de fractions rationnelles à dynamique prescrite. Nous commençons par étudier le même problème pour certains revêtements ramifiés post-critiquement finis et nous donnons une méthode de construction à partir de dynamiques d'arbres. Puis nous présentons un théorème de Thurston qui fournit une caractérisation combinatoire pour passer du cadre topologique au cadre analytique. En particulier, nous généralisons aux applications non post-critiquement finies un résultat de Levy qui simplifie le critère de Thurston dans le cas polynomial. Nous illustrons cette généralisation par une condition suffisante d'existence de polynômes ayant un disque de Siegel fixe de type borné. Ensuite nous détaillons la construction par chirurgie quasiconforme d'un exemple de fraction rationnelle non post-critiquement finie dont la dynamique est décrite par un arbre. Plus généralement, nous montrons qu'un résultat de Cui Guizhen et Tan Lei permet de construire une famille de fractions rationnelles à ensemble de Julia disconnexe à partir de certains arbres de Hubbard pondérés.

Mots clés: dynamique holomorphe; dynamique d'arbre; dynamique prescrite

Domaines: Systèmes dynamiques [math.DS]

Sébastien Godillon. Construction of rational maps with prescribed dynamics. Dynamical Systems [math.DS]. Université de Cergy Pontoise, 2010. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00796874⟩