. En-conséquence, ActT oP rune = {a 0 , a 1

. Actt-op-rune, est pas modifié, 4. ? = ? ? , alors on teste : sum h = 0 ? capa, l'algorithme peut donc continuer, 5. aucune activité n'a de partie obligatoire dans l'intervalle [0, 2[, 6. sum h + ra 0 = 4 ? capa, sum h + ra 1 = 1 ? capa, sum h + ra 2 = 2 ? capa

. Actt-op-rune, a 4 } n'est pas modifié, 4. ? = ? ? , aucun filtrage n'est donc effectué, 5. sum h est misàmisà jour : sum h = sum h + ra 2

. Actt-op-rune, a 4 } n'est pas modifié, 4. ? = ? ? , alors on teste : sum h = 3 ? capa, l'algorithme peut donc continuer, 3. Lesprobì emes sur-contraints Nous abordons ces différents cadres dans la section suivante

. Lorsque-le-domaine-d-'une-variable-est-vide and . Qu, aucune solution n'a ´ eté trouvée, cela signifie que leprobì eme est sur-contraint. L'usage d'explications permet d'identifier les causes du retrait de toutes les valeurs de ce domaine. Ainsi, l'utilisateur peut, en connaissance de cause, relaxer leprobì eme en enlevant certaines de ces contraintes. Ceci peutêtrepeutêtre automatisé au cours de la recherche, ` a condition que l'utilisateur ait prédéfini des préférences entre les contraintes qu'il souhaite voir satisfaites. Les explications, pour desprobì emes sur-contraints, ont notammentéténotammentété utilisées dans le cadre de pro-bì emes d'ordonnancement et d'emplois du temps, Celles-ci ontégalementontégalement récemmentrécemmentété utilisées dans le cadre deprobì emes cumulatifs, afin d'expliquer la propagation de la contrainte Cumulative

. Le-principe-intuitif-est-le-suivant, Intuitivement, cette valeur indique dans quelle mesure la solution viole les contraintes. Formellement, il existe de nombreusesmanì eres de définir un telprobì eme d'optimisation, plus ou moins expressives. Le cas le plus simple est leprobì eme Max-CSP [33, 31]. Dans un Max-CSP, l'objectif consistè a minimiser le nombre de contraintes violées dans un réseau de contraintes, sans distinction entre les contraintes dures et les contraintes molles. Il est possible de représenter ceprobì eme avec des coûts binaires (0 ou 1) associésassociésà chaque contrainte

. Actt-op-rune-n, ayant pas de partie obligatoire dans le rectangle [?, ? ? [, sum h , si sa hauteur minimale ra i est strictement supérieurè a lc j + cost j ? sum h alors on filtre sa date de début sa i demanì erè a ce que a i

E. Actt-op-rune, ayant pas de partie obligatoire dans le rectangle [? E , ? ? [, sum e , si sa hauteur maximale ra i est strictement supérieurè a lc j + cost j ? sum e , l'intervalle

E. En-chaqué-evénement-d-'intervalle-utilisateur and ?. , compris dans l'intervalle utilisateur précédent a ´ eté enregistré, la date de début sa i de l'activité a i associée est misè a jour

P. Notons-que-lesévénementslesévénements-de, . Ru, . In-g, and . De, début de partie enveloppante pourraientêtrepourraientêtre fusionnés(pour une activité a i ? A, ils sontàsontà la date sa i )

. Cependant, nous conservons une distinction entre lesévénementslesévénements de type P RU N IN G et lesévélesévénements de début de partie enveloppante pour rester homogène avec les autres algorithmes de Sweep présentés auparavant et pouvoir, en pratique, débrancher ce filtrage si on le souhaite

. Actt-op-rune, si sum e ? ra i < lc j + cost j alors : [sa i , ? E ? da i ] et [? ? , sa i ] peuventêtrepeuventêtre retirés de D(sa i )

. Preuve, Si sum e ? ra i < lc j + cost j alors a i doit s'exécuter (totalement ou partiellement) dans [? E , ? ? [, sinon, dans toute solutionétendantsolutionétendant l'instanciation partielle, aucun point de temps t de [? E , ? ? [, et donc de p j ne pourra satisfaire h t ? lc j + cost j , [? E , ? ? [ ´ etant l'unique intervalle

. Décomposition-activité-ressource-de-cumulative-el-kholy and . Beldiceanu, 9] présentent une autre décomposition de la contrainte Cumulative, la décomposition activité-ressource. Celle-ci utilise un nombre de variables de l'ordre de O(n 2 ), avec n le nombre d'activités duprobì eme. Plutôt que de créer une variable par point de temps et par activité, puis

. Pour-la-présenter, nous nous appuyons sur l'exemple donné par la Figure 6.3. Elle représente une solution d'unprobì eme cumulatifàcumulatifà 4 activités, modélisé par la contrainte Cumulative

. Plusieurs-méthodes-de-filtrage, art en ordonnancement cumulatif classique ontétéontété introduites Nous avons notamment adapté les algorithmes de Sweep et d'Edge-Finding, qui sont les algorithmes les plus répandus pour la contrainte Cumulative. Nous avonségalementavonségalement proposé plusieurs r` egles et algorithmes de filtrage originaux, propresàpropresà notre probì eme. Nous avons notamment introduit un algorithme permettant de filtreràfiltrerà partir des valeurs minimales dans les domaines des variables de coût. Ce type de filtrage est inhabituel et nous avons motivé son emploi par une situation pratique, Nous avons décrit une stratégie de recherche adaptéè a notreprobì eme

. Enfin, Pour cela, nous avons adapté des décompositions de la contrainte Cumulative de l'´ etat de l'artàartà la contrainte SoftCumulative Nous avonségalementavonségalement proposé une nouvelle décomposition, ` a la fois pour la contrainte Cumulative et pour la contrainte SoftCumulative Cette décomposition a un nombre de variables linéaire par rapport au rentes des précédences implicitesévoquéesimplicitesévoquées dans les algorithmes d'Edge-Finding. Il serait alors intéressant de les intégrer auprobì eme cumulatif relaxé. De l` a, deux pistes s'ouvriraientàouvriraientà nous. Lapremì ere serait, l` a encore, d'intégrer au filtrage ces contraintes sur les activités, afin d'obtenir un pouvoir de déduction plus important

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