On the meanings of multiplication for different sets of numbers in a context of geometrization
Étude des significations de la multiplication pour différents ensembles de nombres dans un contexte de géométrisation
Résumé
Our study began with the notion that multiplication is a complex mathematical object, in both its epistemological and cognitive dimensions. The fact that geometric representations can make a mathematical object's meanings more obvious led us to structure our research around the geometrization of multiplication for different sets of numbers. To study the relationship between this complex mathematical object -- multiplication -- and the construction of meaning by students we designed experimental lessons that were put in place in French high school and junior high school classrooms. This experimental study allowed us to closely analyze students' understanding of the topic, or, on the other hand, the obstacles they encountered in a mathematics assignment requiring frame changes and changes in registers of semiotic representation. Our experimental data were analyzed using a combination of several theoretical approaches. The notion of the Mathematical Work Space and its geneses allows us to account for the complexity of students' mathematical work. In order to study collaborative work between students, as well as the teacher's role in this process of cultural mediation, we also applied theories of semiotic mediation and the social construction of knowledge. Our resulting theoretical framework allows us to give a detailed description of the relationships between the epistemological and cognitive levels of the MWS. We conclude with the identification and analysis of individual students' chosen paths, resulting from interactions within a Mathematical Work Space.
Notre étude s'est construite à partir du constat que la multiplication est un objet mathématique complexe dans ses dimensions épistémologique et cognitive. Le fait que les représentations géométriques puissent favoriser la mise en évidence de significations d'un objet mathématique nous a conduits à la recherche d'une géométrisation de la multiplication pour différents ensembles de nombres. Pour étudier le rapport entre cet objet mathématique complexe -- la multiplication -- et la construction de son sens par les élèves, nous avons conçu des séances expérimentales menées dans des collèges et lycées français. Cette étude expérimentale nous a permis d'analyser en profondeur la maîtrise que les élèves manifestent ou, au contraire, les obstacles qu'ils rencontrent dans un travail mathématique qui nécessite, notamment des changements de cadres et de registres de représentation sémiotique. Les données issues de nos séances expérimentales ont été analysées à l'aide d'une articulation entre différentes approches théoriques. La notion d'Espace de Travail Mathématique et ses genèses permet de rendre compte de la complexité du travail mathématique des élèves. Pour étudier le travail collaboratif entre élèves et le rôle de l'enseignant dans le processus de médiation culturelle, nous avons intégré la médiation sémiotique et la construction sociale des connaissances. L'articulation théorique produite nous a permis de décrire plus finement les relations entre les plans épistémologique et cognitif de l'ETM. Nous arrivons finalement à l'identification et l'analyse de parcours d'individus résultant des interactions produites à l'intérieur d'un Espace de Travail Mathématique.
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