Study of some inverse problems for the Stokes system. Application to the lungs.

Etude de quelques problèmes inverses pour le système de Stokes. Application aux poumons.

Anne-Claire Egloffe (1)

1 REO - Numerical simulation of biological flows

In this work, we are interested in the resolution of some inverse problems arising from a multi-scale modeling of the airflow in the lungs. As a first step, we focus on a simplified model of the airflow in the lungs: we consider the incompressible Stokes equations with Robin boundary conditions on a part of the boundary. We want to identify the Robin coefficient defined on this non accessible part of the boundary from measurements of the velocity and the pressure available on another part of the boundary. We first prove quantification results for the unique continuation property for the Stokes system, then we establish two logarithmic stability inequalities, one valid in dimension 2 and the other one valid in any dimension. Both are based on Carleman estimates, global in the first case and local in the second one. Our stability estimates are first established for the stationary problem and the semigroup theory allows to deduce from the stationary case stability estimates for the non-stationary problem. Moreover, under the a priori assumption that the Robin coefficient is piecewise constant, we provide a Lipschitz stability estimate for the stationary problem. We conclude by coming back to the initial model which involves non-standard boundary conditions with the flux. In particular, we obtain encouraging first numerical results concerning the identification of some parameters of the model.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la résolution de problèmes inverses provenant d'une modélisation multi-échelle de l'écoulement de l'air dans les poumons. Dans un premier temps, nous considérons une version simplifiée du modèle de l'écoulement de l'air dans les poumons : l'écoulement est modélisé par les équations de Stokes incompressibles avec des conditions aux limites de type Robin sur une partie du bord. Nous cherchons à identifier le coefficient de Robin défini sur une partie non accessible du bord à partir de mesures de la vitesse et de la pression disponibles sur une autre partie du bord. Après avoir quantifié des résultats de continuation unique pour le système de Stokes, nous établissons deux inégalités de stabilité logarithmiques, l'une valable en dimension 2 et l'autre valable en toute dimension. Toutes deux sont basées sur des inégalités de Carleman, globale dans le premier cas et locales dans le second. Les inégalités de stabilité sont d'abord montrées sur le problème stationnaire puis la théorie des semi-groupes permet de passer au problème non stationnaire. De plus, sous l'hypothèse a priori que le coefficient de Robin est constant par morceaux, nous prouvons une inégalité de stabilité Lipschitzienne pour le problème stationnaire. Nous concluons cette thèse en revenant au problème initial pour lequel nous imposons des conditions au bord non-standard faisant intervenir le flux. En particulier, nous obtenons des premiers résultats numériques encourageants concernant l'identification de certains paramètres du modèle.

Mots clés: Inverse problem; Robin boundary conditions; Stability estimate; Carleman estimates; Stokes system; Modeling of the respiratory tract

Mots clés: Problème inverse; Conditions aux limites de type Robin; Inégalité de stabilité; Inégalité de Carleman; Système de Stokes; Modélisation de l'appareil respiratoire.

Domaines: Equations aux dérivées partielles [math.AP]; Optimisation et contrôle [math.OC]

Anne-Claire Egloffe. Study of some inverse problems for the Stokes system. Application to the lungs.. Analysis of PDEs [math.AP]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2012. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00756334⟩