On the spectrum of the magnetic Schrödinger operator in a dihedral domain
Sur le spectre de l'opérateur de Schrödinger magnétique dans un domaine diédral
Résumé
This thesis analyses the spectrum of magnetic Schrödinger operators with constant magnetic field in dihedral domains. In order to understand how a curved edge influences the first eigenvalue in the semi-classical limit, we have to investigate the bottom of the spectrum of the Schrödinger operator with constant magnetic field on an infinite wedge. Using Fourier transform we reduce to a one-parameter family of operators on the corresponding infinite sector. We exhibit the essential spectrum of the operators on the sector and we show that in certain cases there exist discrete eigenvalues below the essential spectrum. Comparing with singular Sturm-Liouville operators on the half-line, we get upper bounds for the bottom of the spectrum of the magnetic Schrödinger operator on the wedge: For small opening angles and some special orientations of the magnetic field, this quantity is smaller than the spectral quantities coming from the regular case. We finally use these results to investigate the Schrödinger operator with constant magnetic field and small parameter in three-dimensional bounded domains with a curved edge. In order to find asymptotics for the first eigenvalue in the semi-classical limit, we construct quasi-modes near the edge using the eigenfunctions of the parameter problem on the sector. Using a partition of unity depending on whether we are close to the edge or to the regular boundary, we get the first term of the asymptotics for various orientations of the magnetic field and we show that the first eigenvalue can be smaller than in the regular case.
Cette thèse analyse le spectre d'opérateurs de Schrödinger avec champ magnétique constant dans des ouverts de type diédraux. Pour comprendre l'influence d'une arête courbe sur la première valeur propre de l'opérateur dans la limite semi-classique, il faut connaître le bas du spectre de l'opérateur de Schrödinger magnétique avec champ constant sur un dièdre infini. Par transformation de Fourier ce problème se ramène à l'étude d'une famille d'opérateurs à paramètre sur un secteur infini. On calcule le spectre essentiel de ces opérateurs sur le secteur et on montre que dans certains cas il y a des valeurs propres discrètes sous le spectre essentiel. Par comparaison avec des opérateurs de Sturm-Liouville singuliers sur le demi-axe on obtient des majorations du bas du spectre de l'opérateur sur le dièdre : pour un angle d'ouverture assez petit et certaines orientations du champ magnétique, celui-ci est strictement inférieur aux quantités spectrales issues du cas régulier. Finalement on applique ces résultats à l'opérateur de Schrödinger avec champ magnétique constant et petit paramètre dans des domaines bornés de l'espace possédant des arêtes courbes. Pour déterminer une asymptotique de la première valeur propre dans la limite semi-classique, on construit des quasi-modes près de l'arête à l'aide des fonctions propres du problème à paramètre sur le secteur. En utilisant une partition du domaine selon que l'on soit près de l'arête ou du bord régulier, on obtient le premier terme de l'asymptotique pour diverses orientations du champ magnétique et on montre dans certains cas que la première valeur propre est inférieure aux valeurs propres associées à des ouverts réguliers.
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