.. Graphes-d-'intervalles, 68 3.2.1 Borne inférieure générale, p.70

. Nous-pouvons-donc-supposer and . Qu, ´ elément du code en position Eb. S'il y a unélémentunélément du code en position Cb, d'après le lemme 3.46, F + (?2, 0) est une 6 + -fenêtre, et d'après la condition 2, ?1, 0) est aussi une 6 + -fenêtre

. Nous-pouvons-donc-supposer and . Qu, ?1) est nécessairement une 6 + -fenêtre, et d'après le lemme 3.46, F + (1, ?2) est une 6 + -fenêtre Aussi nous pouvons supposer qu'il n'y a pas d'´ elément du code en position Gd. Par symétrie, nous pouvons supposer qu'il n'y a pas d'´ elément du code parmi les positions Be, Bc et Dg. En utilisant la condition 2, cela implique qu'il y a deuxéléments deuxéléments du code en position Db et Bd. S'il y a unélémentunélément du code en position Gg, F + (1, ?1) est nécessairement une 6 + -fenêtre, et d'après le lemme 3 ?1) est une 6 + -fenêtre. Aussi nous pouvons supposer qu'il n'y a pas d'´ elément du code en position Gg. S'il y a unélémentunélément du code en position Ge, ?1) est nécessairement une 6 + fenêtre . S'il y a unélémentunélément du code en position Fb, F + (?1, ?1) est nécessairement une 6-fenêtre aussi. Sinon, F + (?2, ?1), F + (?1, 1) ou F + (?2, 2) est une 6 + fenêtre S'il y a unélémentunélément du code en position Fb (resp. en position Bf), F + (?1

A. Cas, Supposons qu'il n'y a pas d'´ elément du code parmi les positions Ed et

. Ee and . Alors, ?1) et F + (2, 1) sont des 6 + -fenêtres. Supposons qu'il y ait unélémentunélément du code en position Ed ou Ee. Alors, d'après la condition 2, F + (0, 1) est une 6 + -fenêtre. S'il y a unélémentunélément du code en position Ed, d'après le lemme 3, ?1) est une 6 + -fenêtre. S'il y a unélémentunélément du code en position Ee, d'après le lemme 3.46, F + (1, 1) est une 6 + -fenêtre

B. Cas, F + (?1, 0) est une 6 + -fenêtre. D'après la condition 1, il y a unélémentunélément du code parmi les positions Cb et Fb. Alors, d'après le lemme 3, pp.0-6

B. Cas, F + (?1, 0) est une 6 + -fenêtre. D'après la condition 2, il y a unélémentunélément du code parmi les positions Dd et Ed. S'il y a unélémentunélément du code en position Dd (resp, Ed et pas en Dd), d'après le lemme 3.46, F + (1, 1) (resp. F + (1, ?1)) est une 6 + -fenêtre

B. Cas, D'après le lemme 3.46, F + (?1, 0) est une 6 + -fenêtre, Si F +, issue.1 1

T. Codes-identifiants, 134 4.2.2 Codes identifiants tolérants, p.139

.. Bornes-générales, 176 5.3.1 En fonction du nombre de sommets, p.186

. Si-g-n-'est-pas-connexe,-chaque-composante-peutêtre-peutêtre-coloriée-indépendamment and . Supposons-donc-que-g-est-connexe, Si G n'est pas ?-régulier et connexe, alors G est (? ? 1)-dégénéré et la proposition 5.25 s'applique. Supposons donc que G est connexe et ?-régulier. Soit v un sommet de G Chaque composante connexe de G ? v est (? ? 1)-dégénérée et donc G ? v est (? ? 1)- dégénéré. D'après la proposition 5.25, G ? v a une coloration localement identifiante avec 2? 2 ? 3? + 1 couleurs Comme auparavant, nous recolorions chaque voisin de v de telle sorte que la coloration reste localement identifiante et qu'un voisin de v n'ayant pas le même voisinage que v ait dans son voisinage une couleur qui n'appara??tappara??t pas dans les voisins de v. Pour faire cela, il y a 2(??1) 2 couleurs interdites d'après le lemme 5.24 et ? couleurs interdites par les couleurs des voisins, dont une comptée en double, Preuve du théorème 5 Cela fait donc 2? 2 ? 3? + 1 couleurs interdites. En ajoutantéventuellement ajoutantéventuellement une couleur, nous obtenons une coloration localement identifiante de G ? v avec 2? 2 ? 3? + 2 couleurs. On peut maintenant donner une couleur compì etement nouvellè a v et obtenir une coloration localement identifiante de G avec 2? 2 ? 3? + 3. Nous avons donc montré que ? lid (G) = O(? 2 ) et qu'il existe des graphes ayant besoin d'un nombre de couleurs de l'ordre de ? 2 couleurs. Cependant, nous ne connaissons pas le coefficient optimal pour cette borne

. Preuve, ,v n?1 les sommets de P n . D'après le lemme 5

. Lorsque-v-i-est-colorié-avec-la-couleur-c, + k + 1, nous ne créons pas d'arêtes c(v i )(c(v i )+k+1) En effet, aucun sommet de la clique C n'a la couleur c(v i )+k+1 = c(v j ) car la coloration c est propre dans G i?1 (fait (i)). De plus, tous les sommets de C sont adjacentàadjacent`adjacentà v j , et d'après (ii) n'

. Donc-la-coloration-reste-propre, Pour montrer que la coloration est localement identifiante, prenons deux sommets v i et v j adjacents, tels que N [v i ] = N [v j ]. Supposons tout d'abord que i, j ? k. Sans perte de généralité, supposons qu'il existe un sommet adjacentàadjacent`adjacentà v i mais pasàpas

. Supposons-maintenant-que-l-'un-des-i, Sans perte de généralité, supposons que i < j et que j > k. Soit C le voisinage ouvert de v j dans G j . Par définition de c, il y a un sommet v ? dans G j?1 tel que C ? {v ? } soit une (k + 1)-clique et tel que c(v j ) = c(v ? ) + k + 1. Dans tous les cas, c(v j ) = c(v ? ) + k + 1, et la couleur c(v ? ) est dans le voisinage de v i mais pas de v j d'après le fait (ii)

´. Etant-donné-un-entier-?-fixé, la propriété ? G est ?-lid-coloriable ? peut s'exprimer en CMSOL (voir le chapitre 3 page 93) En effet,E ? forment une partition s'exprime facilement en CMSOL, ce qui nous une coloration propre, Pour tester si elle est localement identifiante, on peut tester pour chaque paire de sommets {x, y}, s'ils sont jumeaux et si il existe une couleur qui les sépare

. |c, Nous avons donc une lid-colorationrégulì ere de G. Si v est de degré 1 dans G ? , alors v est adjacentàadjacent`adjacentà un sommet w de G ? et nous donnonsàdonnons`donnonsà u une couleur qui n'est pas dans c

2. G. Le-graphe-g-?-=-g-\-{x-2, x 8 } admet une 5-lid-colorationrégulì ere. Sans perte de généralité, supposons que c(x 1 ) = 1 et que c, p.3

G. Dans, Si le degré de x 9 dans G ? est 1, alors x 9 est adjacentàadjacent`adjacentà un sommet x 10 de degré au moins 2 et nous posons b = c(x 10 ) et c ? {1 Le tableau suivant donne les valeurs de x 2 , x 3 , ...x 8 en fonction des valeurs possibles de (a; b, c) Notons que c(x 2 ) ? {1, 2, 3}, c(x 3 ) / ? {1, 2, 3}, c(x 6 ) = a, c(x 7 ) / ? {a, b, c}, c(x 8 ) = c et quatre sommets consécutifs ont des couleurs distinctes. La coloration obtenue est donc une lid-colorationrégulì ere de G, ce qui est contradictoire, pp.2431543-2431542

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