Proper and weak-proper trees in edges-colored graphs and multigraphs
Arbres proprement et faiblement arêtes-coloriées dans les graphes et multigraphes arêtes-coloriées
Résumé
In this thesis, we investigate the extraction of trees from edge-colored graphs. We focus on finding trees with properties based on coloring. Namely, we deal with proper and weak proper spanning trees, denoted PST and WST.- We show the optimization versions of these problems to be NP-hard in the general case of edge-colored graphs and we provide algorithms to find these trees in the case of edge-colored graphs without properly edge-colored cycles. We also provide some nonapproximability bounds.- We investigate the existence of a PST in the case of edge-colored graphs under certain conditions on the graph, both structural and related to the coloration. We consider sufficient conditions that guarantee the existence of a PST in edge-colored (not necessarily proper) graphs with any number of colors. The conditions we consider are combinations ofvarious parameters such as : total number of colors, number of vertices, connectivity and the number of incident edges of different colors to the vertices.- We then consider properly edge-colored Hamiltonian paths in the edge-colored multigraphs, which are relevant to our study since they are also PST. We establish sufficient conditions for a multigraph to contain a proper edge-colored Hamiltonian path, depending on several parameters such as the number of edges, the degree of edges, etc.- Since one of the sufficient conditions for the existence of proper spanning trees is connectivity, we prove several upper bounds for the smallest number of colors needed to color a graph such that it is k-proper-connected. We state several conjectures for general and bipartite graphs, and we prove them for k = 1.
Dans la présente thèse nous étudions l'extraction d'arbres dans des graphes arêtes-coloriés.Nous nous concentrons sur la recherche d'arbres couvrants proprement arête-coloriés et faiblement arête-coloriés, notée PST et WST. Nous montrons que les versions d'optimisation de ces problèmes sont NP-Complete dans le cas général des graphes arêtes-coloriés, et nous proposons des algorithmes pour trouver ces arbres dans le cas des graphes arêtes-coloriés sans cycles proprement arêtes-coloriés.Nous donnons également quelques limites de nonapproximabilité. Nous proposons des conditions suffisantes pour l'existence de la PST dans des graphes arêtes-coloriés (pas forcément propre), en fonction de différents paramètres de graphes, tels que : nombre total de couleurs, la connectivité et le nombre d'arêtes incidentes dedifférentes couleurs pour un sommet. Nous nous intéressons aux chemins hamiltoniens proprement arêtes-coloriés dans le casdes multigraphes arêtes-coloriés. Ils présentent de l'intérêt pour notre étude, car ce sontégalement des arbres couvrants proprement arêtes-coloriés. Nous établissons des conditions suffisantes pour qu'un multigraphe contienne un chemin hamiltonien proprement arêtes-coloriés, en fonction de plusieurs paramètres tels que le nombre d'arêtes, le degré d'arêtes, etc. Puisque l'une des conditions suffisantes pour l'existence des arbres couvrants proprement arêtes-coloriés est la connectivité, nous prouvons plusieurs bornes supérieures pour le plus petit nombre de couleurs nécessaires pour la k-connectivité-propre. Nous énonçons plusieurs conjectures pour les graphes généraux et bipartis, et on arrive à les prouver pour k = 1.
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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