Iterated Integrals in Combinatorial Physics
Intégrales Itérées en Physique Combinatoire
Résumé
We present several results linked by the tools and by the underlying structures we use (iterated integrals, shuffle products). In the first part, we are interested in the computation of integrals of Selberg type and in their asymptotics when the number of variables tends to infinity. In the general case, we show that the result can be expressed as a product whose number of factors does not depend on the number of variables (under certain conditions). If the power of the Vandermonde determinant equals 2, the limit of the integral when the number of variables tends to infinity can be computed with operators related to Newton's interpolation. The second part has two sections which are related to special functions called hyperlogarithms.\\ We start with the question of the linear independence of a family of functions obtained by iterated integrals and give a criterion that links the properties of the whole family to the behavior of the functions obtained by simple integrals. We show how to construct the required fields of germs of analytic functions which play an important role. Several examples allow us to extend the known results. Then we come back to the free algebra and the properties of dual families, our main interest being Schützenberger's factorisation. We recall some classical results in the partially commutative case ; then we consider the family obtained by dualisation from the Lyndon words. It is not possible to write the factorisation for these dual families but we make precise the nature of the elements of the family obtained by duality. Finally, we present a criterion that gives a condition on the dual families for the factorisation to hold.
Nous présentons différents résultats liés par les outils et les structures qu'ils font intervenir (intégrales itérées, produits de mélange). Dans la première partie, nous considérons le calcul de certaines intégrales de type Selberg et leurs limites lorsque le nombre de variables tend vers l'infini. Dans le cas général, on montre que le résultat s'exprime comme un produit dont le nombre de facteurs ne dépend pas du nombre de variables (sous certaines conditions). Si la puissance du déterminant de Vandermonde vaut 2, il est possible de calculer la limite de ces intégrales lorsque le nombre de variables tend vers l'infini à l'aide d'opérateurs liés à l'interpolation de Newton. Dans la seconde partie, nous étudions les propriétés de dépendance linéaire de familles de fonctions obtenues par intégrales itérées et donnons un critère qui permet d'assurer l'indépendance linéaire d'une famille infinie de fonctions à partir de l'étude des relations entre les fonctions obtenues par intégrales simples. Nous montrons comment construire effectivement les corps de germes de fonctions analytiques nécessaires et en donnons quelques exemples qui permettent d'étendre les résultats connus sur les hyperlogarithmes. Ensuite, nous étudions certaines bases de l'algèbre libre dans le but d'appliquer la factorisation de Schützenberger. Nous rappelons quelques résultats classiques, puis nous intéressons à la famille obtenue à partir des mots de Lyndon. Celle-ci ne permet pas d'écrire la factorisation qui nous intéresse mais nous précisons les caractéristiques de sa famille duale. Enfin, nous donnons un critère relatif à deux familles en dualité assurant que l'on peut écrire cette factorisation.
Domaines
Combinatoire [math.CO]
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