Distinguished exchangeable coalescent processes and generalized Fleming-Viot processes with immigration.
Coalescent distingués échangeables et processus de Fleming-Viot généralisés avec immigration.
Résumé
The purpose of the dissertation is to study stochastic coalescent processes modelling the genealogy of an exchangeable population with immigration. We represent the popu- lation by the set of integers N = {1, 2...}. Suppose that we sample n individuals in the population of today. We group together individuals with the same parent at preceding generations. Due to the immigration, some individuals, from a certain generation, may have no ancestor in the population. By convention, we will gather these individuals in a block to which we add 0. We talk about the distinguished block. Processes called distinguished exchangeable coalescents are valued in the space of the partitions of Z+ = {0, 1, ..}. At each time t, we consider a distinguished exchangeable par- tition. That is a partition whose law is invariant under the action of permutations leaving 0 at 0. The presence of the distinguished block adds new coagulation events, which do not exist in the classic coalescent processes. We determine a sufficient condition (neces- sary under some hypotheses) for a distinguished coalescent to come down from infinity, meaning that immediately after 0, there is only a finite number of blocks. On the other hand, there is a duality between these coalescent processes and some pro- cesses valued in the probability-measures space, called generalized Fleming-Viot processes with immigration. We establish links between them and the continuous branching pro- cesses with immigration. In the case of a process with α-stable reproduction and (α −1)- stable immigration, we show that the corresponding measure-valued process, properly renormalized, is a time-changed Fleming-Viot process with immigration.
L'objet de la thèse est d'étudier des processus stochastiques coalescents modélisant la généalogie d'une population échangeable avec immigration. On représente la population par l'ensemble des entiers N = {1, 2, ..}. Imaginons que l'on échantillonne n individus dans la population aujourd'hui. On cherche à regrouper ces n individus selon leur ancêtre en remontant dans le temps. En raison de l'immigration, il se peut qu'à partir d'une certaine génération, certains individus n'aient pas d'ancêtre dans la population. Par convention, nous les regrouperons dans un bloc que nous distinguerons en ajoutant l'entier 0. On parle du bloc distingué. Les coalescents distingués échangeables sont des processus à valeurs dans l'espace des partitions de Z+ := {0, 1, 2, ...}. A chaque temps t est associée une partition distinguée échangeable, c'est-à-dire une partition dont la loi est invariante sous l'action des permu- tations laissant 0 en 0. La présence du bloc distingué implique de nouvelles coagulations, inexistantes dans les coalescents classiques. Nous déterminons un critère suffisant (et né- cessaire avec conditions) pour qu'un coalescent distingué descende de l'infini. C'est-à-dire qu'immédiatement après 0, le processus n'ait plus qu'un nombre fini de blocs. D'autre part, nous nous intéressons à une relation de dualité entre ces coalescents et des processus à valeurs dans les mesures de probabilité, appelés processus de Fleming-Viot généralisés avec immigration. Nous établissons des liens entre ces derniers et les processus de branchement continus avec immigration. Dans le cas d'un processus de branchement avec reproduction α-stable et immigration (α−1)-stable, nous montrons que le processus à valeurs mesures associé, renormalisé, est un processus de Fleming-Viot avec immigration changé de temps.
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