Value distribution of ultrametric meromorphic functions, application of Nevanlinna's theory
Distribution de valeurs des fonctions méromorphes ultramétriques, application de la théorie de Nevanlinna
Résumé
We study properties of meromorphic functions in a complete ultrametric algebraically closed eld of characteristic zero that we denote K ex: K = Cp and similar properties in an open disk of K, taking into account Lazard's problem, that we avoid considering a spherically complete extension of K. On one hand, the problems studied concern the distribution of zeroes, exceptional values, for various type of ultrametric meromorphic functions in K or inside an open disk of K and particularly Hayman's Conjecture in an ultrametric eld. On the other hand, problems of uniqueness are examined for meromorphic functions in the whole eld K or in an open disk of K satisfying certain hypotheses: functions of the form (P f)0 and (P g)0 where P is a polynomial satisfying certain condition and sharing a small function with respect to f and g, counting multiplicities. This last type of problems show some connections with questions on polynomial of uniqueness for meromorphic functions and with questions on Unique Range Sets (URS), particularly we study functions of the form fnf0, gng0 sharing a constant, counting or not multiplicities. Finally, we look for the existence of solutions of functional equations of Diophantine type: functional equation such as P(x) = Q(y) where P and Q are polynomials whose coe cients are meromorphic functions. Su cient conditions are given in order to show that there exist no pair of admissible solutions for such equations or in certain cases, solutions exist with a very particular form. The most used method is the p-adic Nevanlinna Theory which no only applies to ultrametric meromorphic functions in the whole eld K, but also applies to unbounded meromorphic functions inside an open disk. The most used theorems are: the Ultrametric Nevanlinna's second main theorem, the Ultrametric Nevanlinna's theorem on 3 small functions and the Ultrametric Milloux's inequality.
On étudie des propriétés des fonctions méromorphes dans un corps ultramétrique complet, algébriquement clos de caractéristique 0 qu'on note K (ex : K=Cp), ainsi que des propriétés de fonctions méromorphes dans un disque ouvert de K, prenant en compte pour cela le problème de Lazard, qu'on contourne en considérant une extension de K sphériquement complète. Les problèmes étudiés concernent d'une part la distribution des zéros pour différents types de fonctions méromorphes ultramétriques dans K ou dans un disque ouvert de K, avec notamment la Conjecture de Hayman. Et d'autre part, des problèmes d'unicité pour des fonctions méromorphes ultramétriques dans K ou dans un disque de K, qui satisfont certaines hypothèses : des fonctions du type (Po f)' et (P o g)' où P est un polynôme qui satisfait certaines conditions, ces fonctions partagent une autre fonction méromorphe qui est petite par rapport à f et g, en comptant les multiplicités. Ce dernier type de problèmes comporte naturellement des liens avec les problèmes portant sur les polynômes d'unicité pour des fonctions méromorphes dans K, et sur les ensembles d'unicité (URS). Finalement, on s'intéresse à l'existence ou non de solutions des équations fonctionnelles du type Diophantien : des équations fonctionnelles du type P(x)=Q(y) où P et Q sont des polynômes dont les coefficients sont des fonctions méromorphes. On introduit la notion de solutions admissibles pour ces type d'équations. La méthode la plus utilisée est la Théorie de Nevanlinna p-adique qui s'applique non seuleument à des fonctions méromorphes ultramétriques dans le corps K mais aussi aux fonctions méromorphes ultramétriques non bornées dans un disque ouvert de K.
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