Combinatoire bijective et énumérative des cartes pointées sur une surface

Résumé : Une carte est le plongement d'un graphe dans une surface, à un homéomorphisme près. Ainsi, une carte est un objet topologique énumérable, en fonction du nombre de ses sommets, de ses arêtes et de ses faces. Les cartes admettent des symétries internes qui rendent leur énumération difficile. On n'envisage dans ce travail que l'énumération des cartes pointées, le pointage supprimant toutes les symétries. Le nombre exact de cartes pointées sur une surface donnée n'est connu que pour les surfaces de petit genre, comme la sphère (genre 0), le tore ou le plan projectif (genre 1). En effet, la complexité des méthodes de calcul de ces nombres augmente rapidement avec le genre des surfaces. Un travail important de cette thèse a été de convertir l'une de ces méthodes de calcul en une preuve de l'existence d'une structure commune à toutes les séries génératrices de cartes pointées de genre non nul. Pour chaque surface orientable, on réduit le problème à la détermination d'un polynôme, dont le degré est majoré par une fonction simple du genre de la surface. Un résultat analogue est obtenu pour les cartes pointées sur les surfaces non orientables. Des conséquences pratiques et une implantation logicielle de tous ces résultats sont décrites. De nouvelles formules explicites d'énumération sont données. Indépendamment, une bijection géométrique nouvelle est exposée, entre certaines cartes 2-coloriables et les partitions de polygones, énumérées par les nombres de Schröder.
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Thèse
Mathématique discrète [cs.DM]. Université de Marne la Vallée, 1998. Français
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Contributeur : Alain Giorgetti <>
Soumis le : jeudi 23 août 2012 - 14:58:14
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Document(s) archivé(s) le : samedi 24 novembre 2012 - 02:35:10

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Alain Giorgetti. Combinatoire bijective et énumérative des cartes pointées sur une surface. Mathématique discrète [cs.DM]. Université de Marne la Vallée, 1998. Français. 〈tel-00724977〉

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