Detecting an obstacle immersed in a fluid
Détection d'un objet immergé dans un fluide
Résumé
This dissertation takes place in the mathematic field called shape optimization. More precisely, we focus on a detecting inverse problem using shape calculus and asymptotic analysis: the aim is to localize an object immersed in a viscous, incompressible and stationary fluid. This work was motivated by the following main questions: can we localize an obstacle immersed in a fluid from a measurement made on the surface of the fluid? Can we reconstruct numerically this object, i.e. be close to its localization and its shape, from this measure? Can we find how many objects are included in the fluid using this measure? In order to answer to these questions, the inverse problem is studied as an optimization problem by minimizing a cost functional, the variable being the unknown shape. Two different approaches are considered in this work: the geometric optimization (using shape derivatives and shape gradient) and the topological optimization (using an asymptotic expansion and the topological "gradient"). At first, a mathematical framework is introduced in order to prove the existence of the shape derivatives of order one and two in the frame of the detection of inclusions. Then, the considered inverse problem is analyzed using geometric shape opti- mization: an identifiability result is proved, the shape gradient of several shape functionals is characterized and the instability of this inverse problem is proved. These theoretical results are used in order to reconstruct numerically some objets immersed in a fluid using a shape gradient algorithm with a regularization by a projection method. Finally, the detection of small inclusions in a fluid is studied using the topological shape optimization for a Kohn-Vogelius shape functional. This theoretical expression of the topological derivative is used in order to determine numerically the number and the location of some small obstacles immersed in a fluid using a topological gradient algorithm. The limits of this approach are explored: the penetration depth remains poor in this stationary problem.
Cette thèse s'inscrit dans le domaine des mathématiques appelé optimisation de formes. Plus précisément, nous étudions ici un problème inverse de type détection à l'aide du calcul de forme et de l'analyse asymptotique : l'objectif est de localiser un objet immergé dans un fluide visqueux, incompressible et stationnaire. Les questions principales qui ont motivé ce travail sont les suivantes : peut-on détecter un objet immergé dans un fluide à partir d'une mesure effectuée à la surface du fluide ? Peut-on reconstruire numériquement cet objet, i.e. approcher sa position et sa forme, à partir de cette mesure ? Peut-on connaître le nombre d'objets présents dans le fluide en utilisant cette mesure ? Pour répondre à ces questions, le problème inverse est analysé comme un problème d'optimisation en minimisant une fonctionnelle coût, la variable étant la forme inconnue. Deux différentes approches sont considérées dans ce travail : l'optimisation géométrique (à l'aide des dérivées de forme et du gradient de forme) et l'optimisation topologique (à l'aide d'un développement asymptotique et du "gradient" topologique). Dans un premier temps, un cadre mathématique est mis en place pour démontrer l'existence des dérivées de forme d'ordre un et deux pour les problèmes de détection d'inclusions. Le problème inverse considéré est ensuite analysé à l'aide de l'optimisation géométrique de forme : un résultat d'identifiabilité est montré, le gradient de forme de plusieurs types de fonctionnelles de forme est caractérisé et l'instabilité de ce problème inverse est enfin démontrée. Ces résultats théoriques sont alors utilisés pour reconstruire numériquement des objets immergés dans un fluide à l'aide d'un algorithme de gradient régularisé par une méthode de projection. Enfin, la localisation de petites inclusions dans un fluide est étudiée à l'aide de l'optimisation topologique pour une fonctionnelle de forme de Kohn-Vogelius. L'expression théorique de la dérivée topologique est finalement utilisée pour déterminer numériquement le nombre et la localisation de petits obstacles immergés dans un fluide à l'aide d'un algorithme de gradient topologique. Les limites effectives de cette approche sont explorées : la pénétration reste faible dans ce problème stationnaire.
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