Walk on City Maps - Mathematical and Physical phenomenology of the City, a Geometrical approach

Promenade dans les cartes de villes - Phénoménologie mathématique et physique de la ville - une approche géométrique

Thomas Courtat (1)

1 MSC - Matière et Systèmes Complexes

We are interested in the phenomenology of cities by restricting them to the geometry of their street network. This study aims at being synthetic, functional and interdisciplinary. It follows the large work that has been performed from the early XXth century by townplanners, social scientists, geographers, statisticians, physicists. We try to demonstrate that the street - as a coherent alignment of street segments - can be considered as an essential elementary structure of the city. How much information is encoded in the street network? To what extent does it constraint the city use? How are the current urban layout and its evolution determined jointly by traffic axis and structuring elements? We present a mathematical and computational framework allowing to consider the map of a city as a geometric continuum associated to the topology of a planar graph. To this graph we juxtapose a hypergraph structure using the street geometry to obtain easily the notion of axis and a multi-scale representation of the city. In spite of an apparent shape diversity, we show that the street network of a city is subjected to general laws that leave hallmarks on a city map. We propose several morphogenesis models of the city, implementing the idea that the city's growth follows a structured extension / division of space logic and able to reproduce hallmarks observed on actual maps. The understanding of regulation mechanism of the city allows us to propose functional algorithms whose computational efficiencies are very interesting. We present an algorithm recovering streets from a collection of street segments; the notion of simplest centrality whose calculus on a map allows a hierarchical analysis of it, revealing for instance main traffic axis and ill-deserved area; a fast approximate algorithm to nd the shortest path between two random points; and a Spectral Clustering based algorithm to produce morphological segmentations of maps. We also work on the identi cation of random tessellation models to be substituted to an actual road network and to solve large optimization problems using statistical equivalence.

Nous nous intéressons à la phénoménologie des villes en nous limitant à la géométrie induite par le squelette de leur réseau de rues. C'est une étude à volonté synthétique, fonctionnelle et interdisciplinaire qui vient s'ajouter aux travaux qui ont été menés à grande cadence depuis le début du XXème siècle par des urbanistes, sociologues, géographes, statisticiens, physiciens. Nous cherchons à montrer que la rue, en tant qu'alignement cohérent de segments de rues peut être considérée comme structure élémentaire de la ville. Quelle quantité d'information est donnée par la géométrie du réseau routier ? Dans quelle mesure contraint-il nos échanges ? Comment le paysage urbain actuel est-il déterminé par son évolution le long d'axes de circulation et d'éléments structurants ? Nous présentons un cadre mathématique permettant de considérer la carte d'une ville comme un continuum géométrique défi ni par la topologie d'un graphe planaire. Nous superposons à ce graphe une structure d'hypergraphe pour manipuler aisément la notion d'axes ainsi qu'une représentation multi-échelles de la ville. En dépit d'une grande diversité apparente de formes, nous montrons que le réseau de rues d'une ville se soumet à un certain nombre de lois générales qui laissent des traces sur le plan de la ville. Nous proposons des modèles de croissance et de morphogénèse de la ville, implé- mentant l'idée que l'évolution de la ville suit une logique d'extension / division structurée de l'espace et reproduisant les signatures observées sur les plans de villes réelles. La compréhension des mécanismes régulateurs de la ville nous permet de proposer des algorithmes fonctionnels dont le temps de calcul est très intéressant. Ainsi nous présentons un algorithme reconstituant les rues à partir de segments de rues ; la notion de centralité simple dont le calcul sur une carte permet une analyse hiérarchique de celle-ci, met en valeur les axes de trafic principaux et en évidence les zones mal desservies ; un algorithme permettant d'approximer rapidement le plus court chemin entre deux points aléatoires ; un algorithme prenant appui sur le Spectral Clustering pour produire des segmentations morphologiques de cartes et retravaillons l'identi cation de modèles de mosaïques aléatoires pour les substituer à un réseau urbain particulier dans la résolution par équivalents statistiques de grands problèmes d'optimisation.

Mots clés: city; social systems; graphs; stochastic geometry; complex systems; centrality; morphogenesis; shortest pathes

Mots clés: ville; systèmes sociaux; graphes; géométrie stochastique; systèmes complexes; centralité; morphogenèse; plus court chemin

Domaines: Modélisation et simulation; Physique et Société [physics.soc-ph]; Formation de Structures et Solitons [nlin.PS]; Géométrie algorithmique [cs.CG]; Probabilités [math.PR]; Analyse de données, Statistiques et Probabilités [physics.data-an]; Traitement du signal et de l'image [eess.SP]; Traitement du signal et de l'image [eess.SP]

Thomas Courtat. Walk on City Maps - Mathematical and Physical phenomenology of the City, a Geometrical approach. Modeling and Simulation. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2012. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00714310⟩