Stochastic calculus with respect to multi-fractional Brownian motion and applications to finance

Résumé : Le premier chapitre de cette thèse introduit les différentes notions que nous utiliserons et présente les travaux qui constituent ce mémoire.Dans le deuxième chapitre de cette thèse nous donnons une construction ainsi que les principales propriétés de l'intégrale stochastique par rapport au mBm harmonisable. Y sont également établies des formules d'Itô et une formule de Tanaka pour l'intégrale stochastique par rapport à ce mBm..Dans le troisième chapitre nous donnons une nouvelle définition, à la fois plus simple et plus générale, du mouvement brownien multifractionnaire. Nous montrons ensuite que le mBm apparaît naturellement comme limite de suite de somme de mouvement brownien fractionnaire (fBm) d’indices de Hurst différents.Nous appliquons alors cette idée pour tenter de construire une intégrale stochastique par rapport au mouvement brownien multifractionnaire à partir d’intégrales par rapport au fBm. Cela fait nous appliquons cette définition d’intégrale par rapport au mBm pour une méthode d’intégration donnée aux deux méthodes que sont le calcul de Malliavin et la théorie du bruit blanc.Dans ce dernier cas nous comparons alors l’intégrale ainsi construite à celle obtenue au chapitre 2. Le quatrième et dernier chapitre est une application du calcul stochastique développé dans les chapitres précédents. Nous y proposons un modèle à volatilité multifractionnaire où le processus de volatilité est dirigée par un mBm. L’intérêt résidant dans le fait que l’on peut ainsi prendre en compte à la fois la dépendance à long terme des accroissements de la volatilité mais aussi le fait que la trajectoire de ces accroissements varie au cours du temps.Utilisant alors la théorie de la quantification fonctionnelle pour, entre autres, approximer la solution de certaines des équations différentielles stochastiques, nous parvenons à calculer le prix d’option à départ forward et implicitons ainsi une nappe de volatilité que l’on représente graphiquement pour différentes maturités.
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Other. Ecole Centrale Paris, 2012. English. 〈NNT : 2012ECAP0006〉
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Soumis le : mardi 1 juillet 2014 - 15:46:26
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Joachim Lebovits. Stochastic calculus with respect to multi-fractional Brownian motion and applications to finance. Other. Ecole Centrale Paris, 2012. English. 〈NNT : 2012ECAP0006〉. 〈tel-00704526〉

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