Differential geometry of vector bundles and Clifford algebras applied to multi-channels image processing
Géométrie différentielle des fibrés vectoriels et algèbres de Clifford appliquées au traitement d'images multicanaux
Résumé
This thesis is devoted to supply applications of Clifford algebras to multichannel image processing. Moreover, we introduce the use of vector bundles framework in image processing. Part 1 is devoted to multichannel image segmentation. We generalize Di Zenzo's approach to edge detection by constructing metric tensors related to the choice of the segmentation. Using the framewok of Clifford algebras bundles, we show that the choice of a segmentation of an image is related to the choice of a connection and a section on such a bundle. Part 2 is devoted to regularization. We make use of heat equations associated to generalized Laplacians on vector bundles. The main result of this part is the following. Considering the heat equation associated to the Hodge operator on the Clifford bundle of a well-chosen Riemannian manifold, we obtain a common framework for anisotropic regularization of images (videos), and related fields such as vector fields and orthonormal frame fields. At last, in Part 3, we deal with spectral analysis via the definition of a Fourier transform of a multichannel image. This definition is related to an abstract theory of Fourier transform based on the notion of group representation. From this point of view, the usual Fourier transform of grey level images is related with irreducible representations of the translations of the plane. We extend this Fourier transform to multichannel images by considering reducible representations of this group.
Le sujet de cette thèse est l'apport d'applications du formalisme des algèbres de Clifford au traitement d'images multicanaux. Nous y introduisons également l'utilisation du cadre des fibrés vectoriels en traitement d'image. La Partie 1 est consacrée à la segmentation d'images multicanaux. Nous généralisons l'approche de Di Zenzo pour la détection de contours en construisant des tenseurs métriques adaptés au choix de la segmentation. En utilisant le cadre des fibrés en algèbres de Clifford, nous montrons que le choix d'une segmentation d'une image est directement lié au choix d'une métrique, d'une connexion et d'une section sur un tel fibré. La Partie 2 est consacrée à la régularisation. Nous utilisons le cadre des équations de la chaleur associées à des Laplaciens généralisés sur des fibrés vectoriels. Le résultat principal que nous obtenons est qu'en considérant l'équation de la chaleur associée à l'opérateur de Hodge sur le fibré de Clifford d'une variété Riemannienne bien choisie, nous obtenons un cadre global pour régulariser de manière anisotrope des images (vidéos) multicanaux, et des champs s'y rapportant tels des champs de vecteurs ou des champs de repères orthonormés. Enfin, dans la Partie 3, nous nous intéressons à l'analyse spectrale via la définition d'une transformée de Fourier d'une image multicanaux. Cette définition repose sur une théorie abstraite de la transformée de Fourier basée sur la notion de représentation de groupe. De ce point de vue, la transformée de Fourier usuelle pour les images en niveau de gris est basée sur les représentations irréductibles du groupe des translations du plan. Nous l'étendons aux images multicanaux en lui associant les représentations réductibles de ce groupe.
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