Projective varieties with ample cotangent bundle
Variétés projective à fibré cotangent ample
Résumé
We study different hyperbolicity related problems for complete intersection varieties. Given a smooth complete intersection variety X ⊂ M in a smooth complex projective variety M, we prove that if k is bigger than dimX/codimM X and if the multidegree of X is sufficiently big then there exists invariant jet differential equations on X of order k and degree m for m big enough. Then we study a conjecture of O. Debarre: if X ⊂ P^N is the intersection of at least N/2 generic hypersurfaces of sufficiently high degree, then the cotangent bundle of X is ample. We give different results towards this conjecture. We prove that if X satisfies the hypothesis of the conjecture, then X is hyperbolic and the cotangent bundle of X is numerically positive, big, and ample modulo a subset of codimension at least 2. We also give a strategy to compute explicitly symmetric differential forms on particular complete intersection varieties. Then, we prove a vanishing theorem for the cohomology of the Green-Griffiths jet differential bundles, generalizing a result of Schneider and a result of Diverio. Finally, we study the cohomology of line bundles on the universal hypersurface of divisors in P^1.
Nous étudions différentes propriétés d'hyperbolicité pour les variétés intersection complète. Étant donnée une variété intersection complète lisse X ⊂ M dans une variété projective complexe lisse, nous démontrons que si k est plus grand que dim X/ codimM X et si le multidegré de X est suffisamment grand alors il existe sur X des équations différentielles de jets d'ordre k et de degré m pour m suffisamment grand. Ensuite nous étudions une conjecture de O. Debarre : si X ⊂ P^N est l'intersection d'au moins N/2 hypersurfaces génériques de degré suffisamment grand, alors le fibré cotangent de X est ample. Nous donnons différents résultats partiels en direction de cette conjecture. Nous démontrons que si X vérifie les hypothèses de la conjecture alors X est hyperbolique et le fibré cotangent de X est numériquement positif, gros, et ample en dehors d'un lieu de codimension au moins 2. Nous donnons ensuite une stratégie pour calculer explicitement des formes différentielles symétriques sur des variétés intersection complète particulières. Enfin, nous démontrons un théorème d'annulation pour la cohomologie des fibrés de différentielles de jets de Green-Griffiths, généralisant ainsi un théorème de Schneider et un théorème de Diverio. Pour finir, nous étudions la cohomologie des fibrés en droites sur l'hypersurface universelle des diviseurs dans P^1.