Reaction-diffusion equations and some applications to Biology
Equations de réaction-diffusion et quelques applications à la Biologie
Résumé
In Chapter 1 we model calcium ions and some proteins inside a moving dendritic spine (a microstructure the neuron). We propose two models, one with diffusing proteins and another with proteins fixed in the cytoplasm. We prove that the first model is well-posed, that the second model is almost well-posed and that there is a continuous link between both models. In Chapter 2 we applied the techniques of Chapter 1 for a model of viral infection of cells and immune response in cultivated cells. We propose as well two models, one with diffusing cells and another with fixed cells. We prove that both models are well-posed and that there is a continuous link between them. We also study the asymptotic behaviour and stability of solutions for large times and perform numerical simulations in Matlab. In Chapter 3 we study the effect of growth on pattern formation. We show that growth has two positive effects on pattern formation. First, an \emph{anti-blow up} effect because it allows the solution on a growing domain to blow-up later than on a fixed domain, and if growth is fast enough then it can even prevent the blow-up. Second, a \emph{stabilising} effect because the eigenvalues on a growing domain have smaller real part than those on a fixed domain. In Chapter 4 we extend the definition of travelling waves to manifolds and study some of their properties. In Chapter 5 we study travelling waves on the real line. We prove that there are two waves moving in opposite directions and that they eventually block each other, giving rise to a non-trivial steady-state solution. This example shows that for non-homogeneous models the travelling waves are not necessarily invasions. In Chapter 6 we study travelling waves on the sphere. We prove that for sub-domains of the sphere with Dirichlet boundary conditions the travelling wave is always blocked, but for the whole sphere the wave can either invade or be blocked, depending on the initial conditions. In Chapter 7 we study an elliptic nonlinear eigenvalue problem on the sphere. On the 1-sphere we prove the existence of multiple non-trivial solutions using bifurcation techniques, and on the n-sphere we use the same arguments to prove the existence of multiple axis-symmetric solutions, i.e. solutions depending only on the vertical angle.
La motivation de cette thèse de Doctorat est de modéliser quelques problèmes biologiques avec des systèmes et des équations de réaction-diffusion. La thèse est divisée en sept chapitres: 1. On modélise des ions de calcium et des protéines dans une épine dendritique mobile (une microstructure dans les neurones). On propose deux modèles, un avec des protéines qui diffusent et un autre avec des protéines fixées au cytoplasme. On démontre que le premier problème est bien posé, que le deuxième problème est presque bien posé et qu'il y a un lien continu entre les deux modèles. 2. On applique les techniques du Chapitre 1 pour un modèle d'infection virale et réponse immunitaire dans des cellules cultivées. On propose comme avant deux modèles, un avec des cellules qui diffusent et un autre avec des cellules fixées. On démontre que les deux problèmes sont bien posés et qu'il y a un lien continu entre les deux modèles. On Žtudie aussi le comportement asymptotique et la stabilité des solutions pour des temps larges, et on fait des simulations dans Matlab. 3. Dans le Chapitre 3 on montre que la croissance a deux effets positives dans la formation de motifs ou patterns. Le premier est un effet anti-explosion (anti-blow-up) car les solutions sur un domaine croissant explosent plus tard que celles sur un domaine fixé, et si la croissance est suffisamment rapide alors elle peut même empêcher l'explosion. Le deuxième est un effet stabilisant car les valeur propres sur un domaine croissant ont des parties réelles plus petites que celles sur un domaine fixé. 4. On étend la définition de front progressif à des variétés et on en étudie quelques propriétés. 5. On étudie des front progressifs sur la droite réelle. On démontre qu'il y a deux fronts progressifs qui se déplacent dans des directions opposées et qu'ils se bloquent mutuellement, générant ainsi une solution stationnaire non-triviale. Cet exemple montre que pour des modèles à diffusion non-homogène les fronts progressifs ne sont pas nécessairement des invasions. 6. On étudie des fronts progressifs sur la sphère. On démontre que pour des sous-domaines de la sphère avec des conditions aux limites de Dirichlet le front progressif est toujours bloqué, tandis que pour la sphère complète le front peut ou bien invahir ou bien être bloqué, tout en fonction des conditions initiales. 7. On étudie un problème elliptique aux valeurs propres nonlinéaires. Sur la sphère de dimension 1 on démontre l'existence de multiples solutions non-triviales avec des techniques de bifurcation. Sur la sphère de dimension n on utilise les mêmes arguments pour dŽmontrer l'existence de multiples solutions non-triviales à symétrie axiale, i.e. qui ne dépendent que de l'angle vertical.