Error-correcting codes to secure digital information

Des codes correcteurs pour sécuriser l'information numérique

Vincent Herbert (1)

1 SECRET - Security, Cryptology and Transmissions

Error-correcting codes are used to reconstitute digital data, which are proned to alterations during their storage and their transport. They can also be employed in cryptography as a tool to encrypt data and authenticate people. These different aspects are treated in this document. First of all, we study the class of cyclic codes defined by the zero set {1, 2^i+1, 2^j+1}, where i and j are distinct positive integers. We focus on the characterization of three-error correcting codes in this class as well as the weight distribution of these codes. We improve the Schaub algorithm, which gives a lower bound on the minimum distance of cyclic codes. We implement this algorithm to compute the spectral immunity of Boolean functions. This quantity is related with the minimum distance of cyclic codes and is important to guarantee the security of certain stream ciphers. Subsequently, we propose a solution to speed up the polynomial roots computation over finite fields of characterisitic two. This computation is the slowest step during the decoding of McEliece-type cryptosystems based on classical binary Goppa codes. We provide a complexity analysis of the underlying algorithm named BTZ. We complete our works by a study of low-cost authentication solutions based on the protocol HB, adopting a syndrome decoding approach, instead of the standard approach, based on the LPN problem.

Les codes correcteurs d'erreurs sont utilisés pour reconstituer les données numériques, qui sont sujettes à des altérations lors de leur stockage et de leur transport. Il s'agit là de l'utilisation principale des codes correcteurs mais ils peuvent encore être employés en cryptographie. Ils sont dans ce contexte un outil permettant, entre autres choses, de chiffrer des données et d'authentifier des personnes. Ces différents aspects sont traités dans ce document. Pour commencer, nous étudions la classe de codes cycliques possédant un ensemble de définition de la forme {1, 2^i+1, 2^j+1}, où i et j désignent des entiers positifs distincts. Nous concentrons notre attention sur la caractérisation des codes trois-correcteurs appartenant à cette classe ainsi que sur la distribution de poids de ces codes. Nous améliorons l'algorithme de Schaub, qui donne une minoration de la distance minimale des codes cycliques. Nous mettons en oeuvre cet algorithme pour calculer l'immunité spectrale de fonctions booléennes. Cette quantité est reliée à la distance minimale de codes cycliques et est importante pour garantir la sécurité dans certains cryptosystèmes de chiffrement à flot. Dans un second temps, nous proposons une solution pour accélérer le calcul des racines de polynômes dans des corps finis de caractéristique deux. Ce calcul est la phase la plus lente du déchiffrement des cryptosystèmes de type McEliece basés sur les codes de Goppa binaires classiques. Nous fournissons une analyse de la complexité de l'algorithme sous-jacent baptisé BTZ. Nous achevons nos travaux par une étude des protocoles d'authentification à bas coût, dérivés du protocole HB, en adoptant une approche basée sur le problème du décodage par syndrome, plutôt que par l'approche standard, fondée sur le problème LPN.

Mots clés: Cyclic codes; Weight enumerator; Schaub algorithm; Spectral immunity; Worst-case complexity; Berlekamp Trace Algorithm (BTA); Binary Goppa codes; Lightweight Cryptology

Mots clés: Codes cycliques; Enumérateur des poids; Algorithme de Schaub; Immunité spectrale; Complexité dans le pire cas; Algorithme de la trace de Berlekamp (BTA); Codes de Goppa binaires; Syndrome Decoding; Cryptologie ultralégère

Domaines: Théorie de l'information [cs.IT]; Théorie de l'information et codage [math.IT]; Cryptographie et sécurité [cs.CR]

Vincent Herbert. Des codes correcteurs pour sécuriser l'information numérique. Théorie de l'information [cs.IT]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2011. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00657110⟩