Walks and animals: applications of the theory of heaps of pieces
Chemins et animaux : applications de la théorie des empilements de pièces
Résumé
The goal of this thesis is to establish enumerative results on several classes of paths and animals. These results are applications of the theory of heaps of pieces developed by Viennot. We study discrete excursions (or generalized Dyck paths) with bounded height; we obtain combinatorial interpretations and extensions of results from Banderier, Flajolet and Bousquet-Mélou. We describe and enumerate several subclasses of self-avoiding walks (SAW), called weakly directed walks. These classes are larger than the class of prudent walks, which is the largest natural subclass of SAW enumerated so far. We compute the average site perimeter of directed animals, proving conjectures from Conway and Le Borgne. Finally, we obtain new results on the enumeration of Klarner animals and multi-directed animals defined by Bousquet-Mélou and Rechnitzer.
Le but de cette thèse est d'établir des résultats énumératifs sur certaines classes de chemins et d'animaux. Ces résultats sont obtenus en appliquant la théorie des empilements de pièces développée par Viennot. Nous étudions les excursions discrètes (ou chemins de Dyck généralisés) de hauteur bornée; nous obtenons des interprétations combinatoires et des extensions de résultats de Banderier, Flajolet et Bousquet-Mélou. Nous décrivons et énumérons plusieurs classes de chemins auto-évitants, dits chemins faiblement dirigés. Ces chemins sont plus nombreux que les chemins prudents qui forment la classe naturelle la plus grande jusqu'alors. Nous calculons le périmètre de site moyen des animaux dirigés, prouvant des conjectures de Conway et Le Borgne. Enfin, nous obtenons des résultats nouveaux sur l'énumération des animaux de Klarner et les animaux multi-dirigés de Bousquet-Mélou et Rechnitzer.
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