Toward a classification of the motivic decompositions of homogeneous spaces

Vers une classification des décompositions motiviques d'espaces homogènes

Charles de Clercq (1)

1 UPMC - Université Pierre et Marie Curie - Paris 6

In this thesis we study the Grothendieck Chow motives of projective homogeneous varieties, and their relations with classical invariants and questions of rational geometry. The motive (with finite coefficients) of a projective homogeneous variety under the action of a semisimple affine algebraic group G decomposes in an essentially unique way as a direct sum of indecomposable motives. Our work takes part in the program of classification of those motives, our main tool being the theory of upper motives. We first show that the classification is reduced to the one with coefficients in F_p if G is of inner type, and find an analogue for groups of outer type. We then give a complete classification of the indecomposable motives of varieties under the action of projective linear groups and derive from it the motivic dichotomy of PGL_1. We also provide a motivic tool used by Garibaldi, Semenov and Petrov to completely determine the motives of projective homogeneous varieties under the action of groups of type E_6. Finally we show that the motivic decomposition of generalized Severi-Brauer varieties SB(p, A) with coefficients in F_p only depend on the p-adic valuation of the index of A.

Cette thèse porte sur les motifs de Chow des variétés projectives homogènes, et leurs liens avec des invariants classiques et certaines questions de géométrie rationnelle. Le motif (à coefficients finis) d'un espace homogène sous l'action d'un groupe algébrique semisimple et affine G se décompose de manière essentiellement unique en une somme directe de motifs indécomposables. Ce travail prend part au programme de classification de ces motifs, notre principal outil étant la théorie des motifs supérieurs. Nous montrons que cette classification est réduite à celle à coefficients dans F_p si G est de type intérieur, et trouvons un analogue si G est de type extérieur. Nous classifions ensuite complètement les motifs indécomposables des espaces homogènes sous l'action d'un groupe projectif linéaire et en déduisons la dichotomie motivique de PGL_1. Nous proposons ensuite un outil de décomposition motivique utilisé par Garibaldi, Semenov et Petrov pour déterminer toutes les décompositions d'espaces homogènes si G est de type E_6. Enfin nous montrons que la décomposition des variétés de Severi-Brauer généralisées SB(p, A) à coefficients dans F_p ne dépend que de la valuation p-adique de l'indice de A.

Mots clés: motives; algebraic groups; projective homogeneous varieties; Severi-Brauer varieties; central simple algebras

Mots clés: motifs; groupes algébriques; variétés projectives homogènes; variétés de Severi-Brauer; algèbres centrales simples

Domaines: Géométrie algébrique [math.AG]

Charles de Clercq. Toward a classification of the motivic decompositions of homogeneous spaces. Algebraic Geometry [math.AG]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2011. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00653272⟩