Contributions to the problems of classification, regression and study of an inverse problem in finance
Quelques contributions en classification, régression et étude d'un problème inverse en finance
Résumé
We focus on the problems of regression, classification and an inverse problem in finance. We first deal with the regression on a random design problem, with a design taking its values in a Euclidean space and whose distribution admits a density. We prove the optimality of the estimator obtained by localized projections onto a multi-resolution analysis. We then turn to the supervised binary classification problem and prove that the plug-in classifier built upon the above procedure is optimal. Interestingly enough, it is computationally more efficient than alternative plug-in classifiers, which turns out to be a crucial feature in many practical applications. We then focus on the regression on a random design problem, with a design uniformly distributed on the hyper sphere of a Euclidean space. We show how the tight frame of needlets allows to transpose the traditional wavelet regression methods to this new setting. We finally consider the problem of recovering the risk-neutral density from quoted option prices. We show that the singular value decomposition of restricted call and put operators can be computed explicitly and used to tailor a simple quadratic program, which allows to recover a stable estimate of the risk-neutral density.
On s'intéresse aux problèmes de régression, classification et à un problème inverse en finance. Nous abordons dans un premier temps le problème de régression en design aléatoire à valeurs dans un espace euclidien et dont la loi admet une densité inconnue. Nous montrons qu'il est possible d'élaborer une stratégie d'estimation optimale par projections localisées sur une analyse multi-résolution. Cette méthode originale offre un avantage calculatoire sur les méthodes d'estimation à noyau traditionnellement utilisées dans un tel contexte. On montre par la même occasion que le classifieur plug-in construit sur cette nouvelle procédure est optimal. De plus, il hérite des avantages calculatoires mentionnés plus haut, ce qui s'avère être un atout crucial dans de nombreuses applications. On se tourne ensuite vers le problème de régression en design aléatoire uniformément distribué sur l'hyper-sphère et on montre comment le tight frame de needlets permet de généraliser les méthodes traditionnelles de régression en ondelettes à ce nouveau contexte. On s'intéresse finalement au problème d'estimation de la densité risque-neutre à partir des prix d'options cotés sur les marchés. On exhibe une décomposition en valeurs singulières explicite d'opérateurs de prix restreints et on montre qu'elle permet d'élaborer une méthode d'estimation de la densité risque-neutre qui repose sur la résolution d'un simple programme quadratique.
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