Normal forms of vector fields : exponentially small remainders in the periodic nonautonomous cas and homoclinic orbits with many loops near the Hamiltonian O²iw resonance.
Formes normales de champs de vecteurs : restes exponentiellement petits dans le cas non autonome périodique et orbites homoclines à plusieurs boucles au voisinage de la résonance 0²iw hamiltonienne.
Résumé
In this thesis we consider two problems dealing with normal forms of vector fields and exponentially small phenomena. In the first chapter, we prove two results of normalization with exponentially small remainders for analytic vectorfiels in the neighborhood of a fixed point, in a periodic nonautonomous case. The first normalization theorem allows to construct a quasi-invariant manifold with an exponentially small remainder while the second one is a normal form result of the Elphick-Tirapegui-Brachet-Coullet-Iooss type with an exponentially small remainder. In the second chapter, we study the dynamic near the equilibrium point of a family of hamiltonian systems in the neighborhood of a 0²iw resonance. We first show the existence of a family of periodic orbits surrounding the equilibrium and then the existence of homoclinic orbits with several loops for every periodic orbit close to the origin, except the origin itself. The proof is based on a hamiltonian normal form theorem proved in this chapter, inspired by the Elphick-Tirapegui-Brachet-Coullet-Iooss normal form and on a local hamiltonian normalization relying on a result of Moser. We obtain the result of existence of homoclinic orbits by geometrical arguments based on the low dimension and with the aid of a KAM theorem which allows to confine the loops. The same problem was studied before for reversible non hamiltonian vectorfields, and the splitting of the homoclinic orbits lead to exponentially small terms which prevent the existence of homoclinic connections to exponentially small periodic orbits. The same phenomenon occurs here but we get round this difficulty thanks to geometric arguments specific to hamiltonian systems.
Dans cette thèse on s'intéresse à deux problèmes faisant intervenir des formes normales de champs de vecteurs et des phénomènes exponentiellement petits. Dans le premier chapitre on démontre tout d'abord deux théorèmes de normalisation avec restes exponentiellement petits pour des champs de vecteurs analytiques au voisinage d'un point d'équilibre, dans le cas non autonome périodique. Le premier théorème de normalisation permet de construire une quasi-variété invariante à un exponentiellement petit près, tandis que le deuxième met le champ de vecteur sous la forme normale de Elphick-Tirapegui-Brachet-Coullet-Iooss à un exponentiellement petit près. Dans le deuxième chapitre on travaille près d'un point d'équilibre d'une famille de systèmes hamiltoniens au voisinage d'une résonance 0²iw. On démontre l'existence d'une famille d'orbites périodiques entourant l'équilibre puis l'existence d'orbites homoclines à plusieurs boucles à chacune de ces orbites périodiques, aussi proche de cet équilibre que l'on veut à l'exception de l'équilibre lui-même. La démonstration est basée sur la preuve d'un théorème de forme normale hamiltonien inspiré des formes normales de Elphick-Tirapegui-Brachet-Coullet-Iooss ainsi que sur une normalisation locale hamiltonienne s'appuyant sur un résultat de Moser. On obtient ensuite le résultat grâce à des arguments géométriques liés à la petite dimension et à un théorème KAM qui permet de confiner les boucles. Pour le même problème dans le cadre d'un champ de vecteurs réversible non hamiltonien, l'apparition d'exponentiellement petits lors de la perturbation de l'orbite homocline de la forme normale empêche la démonstration de l'existence d'orbites homoclines à des orbites périodiques de taille exponentiellement petite. Le même phénomène apparait ici mais l'obstacle est contourné grâce à des arguments géométriques spécifiques aux système Hamiltoniens.
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