, Pour tout 1 ? j ? 6, aucune sous-suite de la suite d'applications ?-quasiconformes (f n,Sj ) ne converge
, Pour fixer les idées, prenons j = 1. Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe une sous-suite (f n k ,Sj ) de (f n,S1 ) qui converge vers une application ?-quasiconforme f S1
, C) non constante. L'image de f est forcément contenue dans la J-droite L = ? ?1 S1 (f S1 (z)) ? {S 1 } du pinceau centré en S 1 . Par le théorème d'Hurwitz, soit elle est contenue dans l'une des J-droites de C tout en évitant les trois autres, ce qui est impossible en vertu du petit théorème de Picard, soit elle n'intersecte pas la configuration C. La J-droite L doit donc être ? 1 , toujours à cause du petit théorème de Picard, puisque cette J-droite est la seule du pinceau centré en S 1 à n'intersecter C qu'en deux points. Les points d'explosion de la suite (f n k ) sont donc forcément contenus dans l'ensemble des antécédents par f S1 du point z 1 = ? S1 (? 1 \ {S 1 }. Cet ensemble est fini, car comme d(f n k (0), ? 1 ) ? ?, f S1 (0) est différent de z 1 et l'application f S1 ne peut être constante égale à f S1 (z) La suite (f n k ) ne peut donc pas exploser en dehors d'un ensemble fini de points : elle est donc normale en restriction à un certain anneau A = D \ D(0, r A ) Examinons alors la situation depuis un second point double, par exemple S 3 ? L 1 ? L 3 . La suite d'applications ?-quasiconformes (f n k ,S3 ) est normale sur l'anneau A. Les théorèmes 28 et 29 ainsi que le principe du maximum permettent de montrer, comme nous l'avons fait dans la proposition 36, S3 ) est en fait normale sur D. Ainsi, les suites (? S1 ? f n k ) et (? S3 ? f n k ) sont normales sur le disque unité : comme l'application P ? P 2 (C) \ L 1 ? (? S1 (P ), ? S3 (P )) ? C 2 est un difféomorphisme, la suite (f n k ) est normale
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