l- independence for a sytem of motivic representations.
Indépendance de l pour certains systèmes motiviques de représentations galoisiennes.
Résumé
Let $X$ be an smooth projective algebraic variety over a number field $F \subset \mathbb{C}$. Suppose that the Absolute Hodge(AH) motive $M:= h^i(X)$ is contained in the Tannakian category generated by the AH motives of abelian varieties. For every prime number $\ell$ the Galois group $\Gamma_F:= Gal(\bar{F}/F)$ acts on $H_\ell(M)$, the $\ell $-adic realization of $M$. Over a finite extension of $F$ this action factorizes as $\rho_{M,\ell}:\Gamma_F\rightarrow G_M(\ql)$, where $G_M$ is the Mumford-Tate group of $M$. Fix a valuation $v$ of $F$ and suppose $v(\ell)=0 $. The restriction $ \rho_{M,\ell} \vert _{\Gamma_{F_v}}$ defines a representation ${}'W_v \rightarrow G_{M/\ql}$ of the Weil-Deligne group of $F_v$. J-P Serre and J-M Fontaine (independently) have made conjectures that indicates that ${}'W_v \rightarrow G_{M/\ql}$ should be defined over $\mathbb{Q}$ for $\ell$ fixed and that these representations form a compatible system for variable $\ell $. Under certain additional hypothesis , we answer these questions in affirmative, when $X$ has good reduction or Semi-Stable reduction at $v$.
Soit $X$ une variété algébrique lisse et projectif sur un corps de nombres $F \subset \mathbb{C}$. On suppose que le motif de Hodge absolu $h^i(X)$ appartient à la catégorie Tannakienne engendrée par les motifs des variétés abélienne sur $F$. Pour tout nombre premier $\ell$, le groupe de Galois $\Gamma_F:= Gal(\bar{F}/F)$ opère sur $H_{\ell}(M)$, la réalisation $\ell$-adique de $M$. Quitte à remplacer $F$ par une extension finie, on peut supposer que cette action se factorise par un morphisme $\rho_{M,\ell}: \Gamma_F\rightarrow G_M(\ql)$, où $G_M$ est le groupe de Mumford-Tate de $M$. Fixons une valuation $v$ de $F$ et supposons $v(\ell)=0 $. La restriction $\rho_{M,\ell} \vert_{ \Gamma_{F_v}}$ définit une représentation ${}'W_v \rightarrow G_{M/\ql}$ du groupe de Weil-Deligne de $F_v$. Des conjectures de J-P Serre et J-M Fontaine indiquent que pour tout $\ell $, la représentation ${}'W_v \rightarrow G_{M/\ql}$ est définie sur $\mathbb{Q}$ et pour $\ell$ variable elles forment un système compatible de représentations. Sous certaines hypothèses supplémentaires, nous montrons que ceci est vrai si $X$ a bonne réduction en $v$ où réduction semi-stable en $v$.