Algorithms and applications of the Monte Carlo method : Two-dimensional melting and perfect sampling
Algorithmes et applications de la méthode de Monte-Carlo : transitions en deux dimensions et échantillonnage parfait
Résumé
This thesis deals with the Monte Carlo method and some of its applications to statistical physics. The first part concerns the study of the melting transition in two dimensions. The nature of this transition is an old problem of statistical physics, and especially for the fundamental model of hard disks. A Monte Carlo algorithm, called ''event-chain'', is developed for this model and is used to study the melting transition. The results show that the transition follows a two-step scenario with a hexatic phase between the liquid and the solid. The solid-hexatic transition is continuous of the Kosterlitz-Thouless type, and the hexatic-liquid transition is discontinuous. These results confirm the existence of the hexatic phase, and pose a new theoretical basis for experiments on two-dimensional melting transitions. The second part concerns perfect sampling algorithms using the ''coupling-from-the-past'' approach. This paradigm of the Markov-chain Monte Carlo method allows to sample configurations from the exact desired distribution, and this suppresses the long-standing problem of accessing the mixing time of a Markov chain. This method is however difficult to apply to physical systems such as spin glasses at low temperature or hard spheres at high density. Perfect-sampling algorithms are studied for these systems. The results show that the limitation of this method is related to transitions toward chaos of Markov chains. These dynamical transitions are not caused by thermodynamical changes.
Cette thèse porte sur la méthode de Monte-Carlo ainsi que sur des applications de cette méthode à la physique statistique. La première partie concerne l'étude de la transition de phase liquide-solide à deux dimensions. La nature de cette transition est un problème de la physique statistique qui a longtemps été débattu, et en particulier pour le modèle fondamental des disques durs. Dans le but de traiter ce problème, nous avons développé l'algorithme de Monte-Carlo dit ''event-chain''. Notre analyse numérique montre que la transition se déroule en deux étapes: en augmentant la densité, le système passe de manière discontinue d'une phase liquide à une phase dite hexatique, puis de manière continue à une phase solide par une transition de type Kosterlitz-Thouless. Ces résultats posent une nouvelle base théorique aux expériences sur les solides bidimensionnels. La deuxième partie concerne les algorithmes d'échantillonage parfait utilisant la méthode ''Coupling from the past''. Ces algorithmes de Monte-Carlo permettent d'échantillonner des systèmes selon la distribution exacte désirée, ce qui supprime le problème de la connaissance du temps de thermalisation d'une chaîne de Markov. Cette méthode s'est avérée inefficace pour des systèmes physiques où elle serait utile: les verres de spins à basse température, ou les sphères dures à haute densité par exemple. Nous avons étudié différents algorithmes exacts pour ces systèmes. Les résultats obtenus montrent que cette limitation est due aux transitions vers le chaos des chaînes de Markov, ces transitions étant d'origine dynamique et non thermodynamique.
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