Transport-fragmentation equations and applications to prion diseases

Équations de transport-fragmentation et applications aux maladies à prions

Pierre Gabriel (1)

1 LJLL - Laboratoire Jacques-Louis Lions

Growth and fragmentation of polymers play a central role in the development of prion diseases. To study these phenomena, we use the formalism of structured populations and analyze the integro-differential transport-fragmentation equation. First we investigate the eigenvalue problem for the linear transport-fragmentation operator. We prove existence and uniqueness of the principal eigenvalue and the associated eigenvectors under general conditions including the degenerate cases where the transport term can vanish at zero. Then we investigate the dependence of these eigenelements on the parameters of the equation and show existence of non-monotonic behaviors. The results allow us to address two different types of problems. The dependence on the transport term is used to find the steady states and to investigate the long time behavior of nonlinear models, including the "prion system". The dependence on the fragmentation term allows us to study an optimization problem. This means introducing a control on the fragmentation term and finding, for diagnostic purposes, the strategy which maximizes the growth of the population. In the last chapter, we present a conservative numerical scheme for aggregation-fragmentation equations including a coagulation term.

Les phénomènes de croissance et de fragmentation des polymères jouent un rôle central dans le développement des maladies à prions. Pour les étudier, nous adoptons le formalisme des populations structurées et analysons l'équation intégro-différentielle de transport-fragmentation. Dans un premier temps, nous nous intéressons au problème aux valeurs propres pour l'opérateur de transport-fragmentation linéaire. Nous montrons l'existence et l'unicité de la valeur propre principale et des vecteurs propres associés sous des conditions générales incluant les cas dégénérés dans lesquels le coefficient de transport s'annule à l'origine. Nous analysons ensuite la dépendance de ces éléments propres par rapport aux paramètres de l'équation et mettons en évidence l'existence de comportements non monotones. Les résultats obtenus nous permettent d'aborder deux problèmes de natures différentes. La dépendance par rapport au transport est utilisée pour trouver les états d'équilibres et analyser le comportement en temps long de modèles non-linéaires, dont le " système du prion ". La dépendance par rapport à la fragmentation nous permet quant à elle d'étudier un problème d'optimisation. Celui-ci consiste à introduire un contrôle sur la fragmentation et à trouver la stratégie qui maximise la croissance de la population, ceci à des fins diagnostiques. Dans un dernier chapitre, nous présentons un schéma numérique conservatif pour des équations d'agrégation-fragmentation comprenant un terme de coagulation.

Mots clés: Nonlinear transport-fragmentation equations; Principal eigenvalue; Long-time behavior; Control and optimization

Mots clés: Équations de transport-fragmentation non linéaires; Valeur propre principale; Comportement en temps long; Contrôle et optimisation

Domaines: Mathématiques [math]

Pierre Gabriel. Équations de transport-fragmentation et applications aux maladies à prions. Mathématiques [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2011. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00635281⟩