Deterministic and random models of limited aggregation and gelation phenomenon

Modèles déterministes et aléatoires d'agrégation limitée et phénomène de gélification

Raoul Normand (1)

1 LPMA - Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires

In this PhD thesis, we study limited aggregation models, modeling coalescence of particles with "arms", i.e. a fixed number of potential links. Hence, a particle cannot create more links than its number of arms. We are particularly interested in a variant of Smoluchowski's equation introduced by Jean Bertoin. This document contains, after the introduction, three chapters. The first is devoted to the study of a sexed model of coagulation, where particles have male and female arms, and only arms with opposite genders can bind. This model generalizes and unifies Bertoin's model and we can in particular recover his results. The second chapter contains a joint work with Lorenzo Zambotti. We deal with the uniqueness to various coagulation equations after gelation, in particular Smoluchowski's equation with a multiplicative kernel and the equation with limited aggregations. We provide in particular rigorous proofs to several heuristics of the Physics literature, e.g. by computing precisely the gelation time. In the case of limited aggregations, we obtain particularly simple formulas for the limiting concentrations. To explain them, we study in the last chapter a microscopic model for Smoluchowski's equation of limited aggregation, what is a joint work with Mathieu Merle. We manage to describe precisely the microscopic state of our system at any time, and thus recover the formulas from the previous chapter. A striking feature of this model is that it exhibits a phenomenon of self-organized criticality.

Dans cette thèse, nous étudions des modèles d'agrégation limitée, qui modélisent la coalescence de particules ayant des "bras", c'est-à-dire un nombre fixé de liens potentiels. Une particule ne peut donc créer plus de liens que son nombre de bras. On s'intéresse en particulier à une variante de l'équation de Smoluchowski introduite par Jean Bertoin. Ce document comprend, outre l'introduction, trois chapitres. Le premier est dévolu à l'étude d'un modèle sexué de coagulation, où les particules ont des bras mâles et femelles et seuls des bras de sexes opposés peuvent se joindre. Ce modèle généralise et unifie ceux de Bertoin, dont on peut en particulier retrouver les résultats. Le second chapitre comprend un travail en collaboration avec Lorenzo Zambotti. On s'y intéresse à l'unicité des solutions d'équations de coagulation après gélification, en particulier l'équation de Smoluchowski avec noyau multiplicatif et l'équation d'agrégation limitée. En particulier, on donne des preuves rigoureuses de certaines heuristiques de la littérature physique, par exemple en calculant précisément le temps de gélification. Dans le cas d'agrégation limitée, on obtient aussi des formules particulièrement simples pour les concentrations limites. Pour expliquer celles-ci, on étudie dans le dernier chapitre un modèle microscopique pour l'équation de Smoluchowski d'agrégation limitée. Ceci est un travail commun avec Mathieu Merle. On parvient à décrire précisément l'état microscopique du système à tout temps et ainsi à retrouver les formules du second chapitre. Une caractéristique frappante de ce modèle est qu'il possède une propriété de criticalité auto-organisée.

Mots clés: Smoluchowski's equation; Limited aggregation models; Gelation; Infinite systems of ODEs; Non-linear PDEs; Random graphs; Configuration model; Self-organized criticality

Mots clés: Équation de Smoluchowski; Modèles d'agrégation limitée; Gélification; Systèmes infinis d'équations différentielles; EDP non linéaires; Graphes aléatoires; Modèle de configuration; Criticalité auto-organisée

Domaines: Mathématiques [math]

Raoul Normand. Deterministic and random models of limited aggregation and gelation phenomenon. Mathematics [math]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2011. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00631419⟩