, Wittenberg établit l'exactitude de la suite (E) pour une fibration X ? C satisfaisant (Abélienne-Scindée), en supposant que -pour presque tout point fermé ? de C, pour tout entier n > 0 et tout ensemble fini S ? ? k(?) , l'image de CH 0 (X ? ) dans w?S CH 0
, On rappelle que, dans [Wit], on part d'une fibration X ? C, Wittenberg construit un morphisme dominant ? : C ? P 1 et réduit le problème considéré à un problème sur la fibration W ? P 1 , où W est une compactification lisse de la restriction à la Weil W ? P 1 de X ? C le long de ?. On remarque que la condition qu'un point fermé appartient à un sous-ensemble hilbertien généralisé donné passe bien avec la réduction §4.2 de [Wit]. Plus précisément, si Z ? U ? C définit un sous-ensemble hilbertien généralisé Hil de C, son composé avec ? définit un sous-ensemble hilbertien généralisé Hil
, P S ) Soit {z v } v?? k une famille de zéro-cycles de degré ?. Si elle est orthogonale à Br(X ), alors pour tout entier n > 0, il existe un zéro-cycle z de X de degré ?
, elle définit une variété lisse et géométriquement intègre dans A n+1 Il existe un modèle projectif lisse X Proposition 2.1) Un tel modèle est appelé un p-fold de Châtelet si L/K est une extension
, la variété X vue comme un fibré en coniques au-dessus de P 1 via l'indéterminée z, vérifie que l'obstruction de Brauer-Manin est la seule au principe de Hasse/à l'approximation faible pour les zéro
, Si K est un corps de nombres, le groupe de Brauer Br(X) est égal à im, Br
, Abélienne-Scindée) Dans le cas particulier où le terme gauche
, w p est une k-base linéaire de l (donc c'est une K-base linéaire de L car C est une courbe géométriquement intègre sur k) Soit ? un point fermé de C, la fibre X ? , définie par N l? k k(?)/k(?) (x 1 w 1 + · · · + x p w p ) = P ? (z), -est géométriquement intègre, a fortiori satisfait (Abélienne-Scindée), si P ? (z) ? k(?)[z] est un polynôme non nul ; -satisfait (Abélienne-Scindée), si P ? (z) est un polynôme nul, En fait, la fibre X ? a p composantes irréductibles (toute de multiplicité un) après l'extension abélienne l(?)/k(?), dont chacune est géométriquement intègre sur l(?)
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