Periodic Cyclic Cohomology for Smooth Generalized Crossed Products

Cohomologie cyclique périodique des produits croisés généralisés lisses

Olivier Gabriel (1)

1 IMJ - Institut de Mathématiques de Jussieu

This Ph.D. thesis focuses on periodic cyclic cohomology for generalized crossed products. They are C*-algebras constructed out of a Hilbert bimodule. This dissertation is divided into two complementary parts: a general result for tame smooth generalized crossed products and a specific result for quantum Heisenberg manifolds. In the first part, we introduce a class of "smooth versions" of generalized crossed products, which we call "tame smooth generalized crossed products". We then prove that for these algebras, the K-stable diffeotopy-invariant and half-exact functors (such as periodic cyclic cohomology) fit into a 6-term exact sequence similar to the Pimsner-Voiculescu exact sequence. To prove this result, we will rely on work by Cuntz, including Morita contexts. In the second part, we illustrate the previous construction through the example of Quantum Heisenberg Manifolds (QHM). Using the action of the Heisenberg group H3 on QHM, we build explicit representatives of the K-theory and cyclic cohomology of QHM. This enables us to perform explicit computations of Chern-Connes pairings. These calculations together with the 6-term exact sequence of the first part yield explicit bases for the periodic cyclic cohomology of QHM. Hence, our second result is a fairly comprehensive and totally explicit description of K-theory and periodic cyclic cohomology for QHM.

Cette thèse de doctorat est consacrée à la cohomologie cyclique périodique des produits croisés généralisés. Ces derniers sont des C*-algèbres construites à partir d'un bimodule hilbertien. Notre étude s'organise en deux axes complémentaires : un résultat général valable pour les produits croisés généralisés lisses à croissance modérée et un résultat spécifique aux variétés de Heisenberg quantiques. Dans un premier temps, nous introduisons une classe de " versions lisses " des produits croisés généralisés, que nous appelons " produits croisés généralisés lisses à croissance modérée ". Notre premier résultat est que sur ces algèbres, les foncteurs k-stables, invariants sous difféotopie et semi-exacts (comme la cohomologie cyclique périodique) donnent naissance à un hexagone exact analogue à la suite de Pimsner-Voiculescu. Pour prouver cette propriété, nous nous appuierons sur les travaux de Cuntz et tout particulièrement sur la notion de contexte de Morita. Dans un second temps, nous illustrons cette construction en l'appliquant aux variétés de Heisenberg quantiques (QHM). En tirant profit de l'action du groupe de Heisenberg H3 sur les QHM, nous construisons des représentants explicites de la K-théorie et de la cohomologie cyclique. Nous pouvons alors effectuer des calculs explicites d'appariements de Chern-Connes. En combinant ces calculs avec la suite exacte à 6 termes de la première partie, nous construisons des bases explicites de la cohomologie cyclique périodique des QHM. Notre second résultat est donc une description relativement complète et totalement explicite de la K-théorie et de la cohomologie cyclique périodique des QHM.

Mots clés: Periodic cyclic cohomology; Heisenberg group; Cuntz-Pimsner algebras; generalized crossed product; quantum Heisenberg manifolds.

Mots clés: Cohomologie cyclique périodique; groupe de Heisenberg; algèbres de Cuntz-Pimsner; produit croisé généralisé; variétés de Heisenberg quantiques.

Domaines: Mathématiques [math]

Olivier Gabriel. Cohomologie cyclique périodique des produits croisés généralisés lisses. Mathématiques [math]. Université Paris-Diderot - Paris VII, 2011. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00629022⟩